Conjunto perfecto sin racionales

Question

Dé un ejemplo de un conjunto perfecto en $\mathbb R^n$ que no contiene ninguno de los racionales.

(O demostrar que no existe).

Answer 1

Un ejemplo fácil viene del hecho de que un número con un infinito fracción continua expansión es irracional (y a la inversa). El conjunto de todos los irracionales con fracciones continuas formadas sólo por 1's y 2's en cualquier disposición es un conjunto perfecto de números irracionales.

Answer 2

Consideremos el conjunto de reales x cuya expansión binaria, si nos fijamos sólo en los lugares de los dígitos pares, es algún patrón fijo que no se repite eventualmente z. Esto es perfecto, ya que tenemos ramificaciones en los dígitos Impares, pero todos son irracionales, ya que z no se repite eventualmente.

Se puede hacer un dibujo de este conjunto, y se parece al conjunto del tercio medio de Cantor, excepto que se divide en cuatro partes, y se toma el primero+tercero o el segundo+cuarto, dependiendo de los dígitos de z.

Otra solución: Empezar con un intervalo que tenga puntos finales irracionales, y realizar la construcción habitual del tercio medio de Cantor, excepto que en la etapa n, asegurarse de excluir el número racional n-ésimo (con respecto a alguna enumeración fija), utilizando un subintervalo que tenga puntos finales irracionales. Excluyendo sistemáticamente todos los números racionales, se obtiene el deseado conjunto perfecto de irracionales.

(¡Hola François!)

Answer 3

Es bien sabido que $C$ es homeomorfo a $C \times C$ , donde $C$ es el conjunto de Cantor, ya que ambos son espacios métricos compactos de dimensión cero sin puntos aislados. Así que $C$ contiene incontables copias homeomórficas disjuntas de $C$ y todos, salvo un número contable de ellos, pueden contener racionales...

Answer 4

En la definición de la capa WMS en su código JavaScript de OpenLayers, puede especificar el parámetro bgcolor . Esto añadirá finalmente el parámetro BGCOLOR a la URL del servicio WMS como ya se ha explicado. Por ejemplo:

var osm = new OpenLayers.Layer.WMS(
    "OpenStreetMap",
    url,
    {
        width: '600',
        height: '400',
        srs: 'EPSG:3857',
        layers: 'OpenStreetMap',
        styles: '',
        format: 'image/png',
        bgcolor: '0x80BDE3'
     },
     {
        singleTile: true,
        ratio: 1,
        visibility: true,
        isBaseLayer: true
    }
);

Answer 5

Este es el ejercicio 18 del capítulo 2 del libro de Rudin Principios del análisis matemático . Aunque este ejercicio no viene con ninguna pista, hay un problema anterior (Ex.17) que puede contar como uno:

• Dejemos que $E$ sea el conjunto de todos los $x\in[0,1]$ cuya expansión decimal contiene sólo los dígitos $4$ y $7$ . Es $E$ ¿perfecto?

Esto se puede ver construyendo $E$ de forma similar al conjunto de Cantor; como cuando se considera el conjunto de Cantor utilizando expansiones ternarias.

Ahora, define $a=\sum_{k=1}^{\infty}(10)^{-k^2}=\sum_{k=1}^{\infty}a_k/10^{k}$ . Afirmamos que $E+a$ no contiene ningún racional.

Supongamos que $r\in E+a$ es racional. $r=x+a$ para algunos $x\in E$ . Dejemos que $\sum_{k=1}^\infty r_k/10^{k}$ y $\sum_{k=1}^\infty x_k/10^k$ sea la expansión decimal de $r$ y $x$ respectivamente; sin permitir una secuencia infinita de $9'$ s. Entonces $\sum_{k=1}^\infty (x_k+a_k)/10^k$ es la expansión decimal de $r$ ya que $x_k+1,x_k\neq 9$ para todos $k$ .

Como $r$ es racional hay algunos $M,k>1$ tal que para todo $m\geq M$ , $r_m=r_{m+k}$ . Sea $m>1$ sea tal que $2m+1>M,k$ entonces $m^2>2m+1>k$ y por lo tanto $r_{m^2}=r_{m^2+k}$ . Sin embargo, $r_{m^2}=x_{m^2}+1\in\{5,8\},$ y como $k<2m+1=(m+1)^2-m^2$ obtenemos $a_{m^2+k}=0$ Así que $r_{m^2+k}=x_{m^2+k}\in \{4,7\}$ .