Una pregunta vaga de Kevin Lin que no encajaba del todo en Mathoverflow :
Entonces... ¿qué es la transformada de Fourier? ¿Para qué sirve? ¿Por qué es útil (tanto en matemáticas como en ingeniería, física, etc.)?
(Las respuestas de cualquier nivel de sofisticación son bienvenidas).
Los antiguos griegos tenían la teoría de que el sol, la luna y los planetas se mueven alrededor de la Tierra en círculos. Pronto se demostró que era errónea. El problema era que si se observaban los planetas con atención, a veces se movían hacia atrás en el cielo. Así que Ptolomeo propuso una nueva idea: los planetas se mueven en un gran círculo, pero luego se mueven en un pequeño círculo al mismo tiempo. Piensa en sostener un palo largo y girar alrededor, y al mismo tiempo en el extremo del palo hay una rueda que está girando. El planeta se mueve como un punto en el borde de la rueda.
Bueno, una vez que empezaron a observar con atención, se dieron cuenta de que ni siquiera esto funcionaba, así que pusieron círculos sobre círculos sobre círculos...
Al final, tenían un mapa del sistema solar que se parecía a esto:
Esta idea de los "epiciclos" resulta ser una mala teoría. Una de las razones por las que es mala es que ahora sabemos que los planetas orbitan en elipses alrededor del sol. (Las elipses no son perfectas porque están perturbadas por la influencia de otros cuerpos gravitatorios y por efectos relativistas).
Pero está mal por una razón aún peor que esa, como se ilustra en este maravilloso youtube video .
En el vídeo, sumando suficientes círculos, hicieron que un planeta trazara la cara de Homer Simpson. Resulta que podemos hacer cualquier órbita sumando suficientes círculos, siempre que consigamos variar su tamaño y velocidad.
Así que la teoría de los epiciclos de las órbitas planetarias es mala, no porque sea errónea, sino porque no dice nada en absoluto sobre las órbitas. Afirmar que "los planetas se mueven en epiciclos" es matemáticamente equivalente a decir que "los planetas se mueven en dos dimensiones". Bueno, eso no es no decir nada, pero tampoco es decir mucho.
Una forma matemática sencilla de representar "moverse en un círculo" es decir que las posiciones en un plano están representadas por números complejos, por lo que un punto que se mueve en el plano está representado por una función compleja del tiempo. En ese caso, moverse en un círculo de radio $R$ y la frecuencia angular $\omega$ está representada por la posición
$$z(t) = Re^{i\omega t}$$
Si te mueves en dos círculos, uno al final del otro, tu posición es
$$z(t) = R_1e^{i\omega_1 t} + R_2 e^{i\omega_2 t}$$
Entonces podemos imaginar que se añaden tres, cuatro o infinitos círculos de este tipo. Si permitimos que los círculos tengan todas las frecuencias angulares posibles, podemos escribir
$$z(t) = \int_{-\infty}^{\infty}R(\omega) e^{i\omega t} \mathrm{d}\omega.$$
La función $R(\omega)$ es la transformada de Fourier de $z(t)$ . Si empiezas trazando cualquier trayectoria dependiente del tiempo que quieras a través de dos dimensiones, tu trayectoria puede ser perfectamente emulada por infinitos círculos de diferentes frecuencias, todos sumados, y los radios de esos círculos es la transformada de Fourier de tu trayectoria. Advertencia: debemos permitir que los círculos tengan radios complejos. Sin embargo, esto no es raro. Es lo mismo que decir que los círculos tienen radios reales, pero no tienen que empezar todos en el mismo sitio. En el momento cero, puedes empezar como quieras alrededor de cada círculo.
Si su trayectoria se cierra sobre sí misma, como ocurre en el vídeo, la transformada de Fourier resulta simplificada a una serie de Fourier. La mayoría de las frecuencias ya no son necesarias, y podemos escribir
$$z(t) = \sum_{k=-\infty}^\infty c_k e^{ik \omega_0 t}$$
donde $\omega_0$ es la frecuencia angular asociada a la repetición de toda la cosa - la frecuencia del círculo más lento. Los únicos círculos que necesitamos son el más lento, luego uno dos veces más rápido que éste, luego uno tres veces más rápido que el más lento, etc. Todavía hay infinitos círculos si se quiere reproducir perfectamente una trayectoria repetitiva, pero ahora son contablemente infinitos. Si tomas los primeros veinte y dejas de lado el resto, deberías acercarte a la respuesta deseada. De este modo, puedes utilizar el análisis de Fourier para crear tu propio vídeo epicicloidal de tu personaje de dibujos animados favorito.
Eso es lo que dice el análisis de Fourier. Las preguntas que quedan son cómo hacerlo, para qué sirve y por qué funciona. Creo que voy a dejar en su mayor parte esas cuestiones. Cómo hacerlo - cómo encontrar $R(\omega)$ dado $z(t)$ se encuentra en cualquier tratamiento introductorio, y es bastante intuitivo si se entiende la ortogonalidad. Por qué funciona es una cuestión bastante profunda. Es una consecuencia de la teorema espectral .
Para lo que sirve tiene un rango enorme. Es útil para analizar la respuesta de los sistemas físicos lineales a una entrada externa, como un circuito eléctrico que responde a la señal que capta con una antena o una masa en un muelle que responde al empuje. Es útil en óptica; el patrón de interferencia de la dispersión de la luz de una rejilla de difracción es la transformada de Fourier de la rejilla, y la imagen de una fuente en el foco de una lente es su transformada de Fourier. Es útil en espectroscopia y en el análisis de cualquier tipo de fenómeno ondulatorio. Convierte entre las representaciones de posición y momento de una función de onda en mecánica cuántica. Consulta esta pregunta en physics.stackexchange para ver ejemplos más detallados. Las técnicas de Fourier son útiles en el análisis de señales, el procesamiento de imágenes y otras aplicaciones digitales. Por último, son, por supuesto, útiles desde el punto de vista matemático, como describen muchas otras entradas aquí.
Piensa en la luz que sale de las estrellas.
La luz tiene color o "espectro" pero, por supuesto, los datos vienen en un flujo 1-D.
La transformada de Fourier proporciona el espectro de la serie temporal.
También puedes pensar en el ecualizador de tu equipo de música: el deslizador de 2kHz, el de 5kHz, etc. Esos deslizadores están ajustando las constantes en un ámbito similar al de Fourier. (ver las advertencias de @leonbloy más abajo)
(La Fourier inversa sólo te lleva de nuevo del espectro a la señal. Entonces, ¿qué significa que $\mathcal{F}^{-1} = \mathcal{F}$ ?)
Para entrar en materia, recuerde que $\cos$ y $\sin$ son sólo versiones desplazadas de fase entre sí. Matemáticamente, se suman diferentes cantidades (amplitudes) de varios cambios de fase $\sin$ ondas y es un hecho sorprendente que hacerlo puede sumar a cualquier función.
(¿Cómo se consigue una línea recta como $y={1 \over 3} x$ por ejemplo).
nota: Las series transformadas no tienen que ser un tiempo serie exactamente. Se podrían parametrizar muchas curvas mediante $t$ . Por ejemplo, la escritura a mano o el contorno de las huellas de dinosaurio.
¿Por qué es útil en física? Un uso es para expresar la definitividad de la incertidumbre de Heisenberg. Una función de onda dada $\Psi$ en el espacio (posición) puede ser $\mathcal{F}(\Psi)$ al tiempo (impulso). Dado que la conversión tiempo-espacio es biyectiva, la posición y el momento (anti)covarían, es decir, no se puede aumentar uno sin disminuir el otro. Frank Wilczek utiliza $\mathcal{F}$ en este video explicando la QCD, por ejemplo.
¿Cómo se utiliza en ingeniería? Procesamiento de señales, procesamiento de imágenes ( PDF , salta a la página 5), y el procesamiento de vídeo utilizan la base de Fourier para representar las cosas.
Bueno, no hay ninguna razón para creer en la supersimetría, más allá de una cierta amabilidad teórica hacia ella, así que si ven ESO en el LHC, entonces la teoría de cuerdas recibe un gran impulso, ya que no hay otra manera que la supersimetría para producir fermiones en la teoría de cuerdas.
La otra cosa que podría ser relevante para la gravedad cuántica es que si hay grandes dimensiones extra (como en, grande en comparación con la longitud de Planck, pero más pequeño que detectable por cosas como el experimento de Cavendish). Si ese es el caso, entonces la constante gravitacional "fundamental" puede ser mucho mayor que la constante de Newton (difieren por un factor del volumen de las grandes dimensiones extra), y los efectos gravitacionales cuánticos serían accesibles en el LHC.
Una de las mejores explicaciones que he encontrado es la siguiente en betterexplained: http://betterexplained.com/articles/an-interactive-guide-to-the-fourier-transform/ y también : http://nautil.us/blog/the-math-trick-behind-mp3s-jpegs-and-homer-simpsons-face
La razón por la que distinguimos los dos es que el par es una cantidad vectorial , donde como la energía es una cantidad escalar . Así que, aunque damos a la magnitud del par las mismas unidades que a la energía, hay de hecho información adicional que nos indica la dirección en la que se aplica el par.
ACTUALIZACIÓN: Como ha señalado dmckee en los comentarios, para estar perfectamente corregido el par motor es un pseudovector , lo que equivale a una matemática bivector en tres dimensiones. Esto lo distingue de un verdadero vector polar . La distinción es importante ya que la dimensión del pseudovector es n-1 en lugar de n. Esto es importante desde el punto de vista conceptual, ya que es fundamental para entender fuerzas conservadoras y fuerzas centrales y más concretamente la conservación del momento angular.
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