Extraído de Mathoverflow :
Creo que (casi) todo el mundo está de acuerdo en que la Geometría Algebraica de Hartshorne sigue siendo la mejor. Entonces, ¿cuál podría ser el segundo mejor? Puede ser un libro, un preprint, una nota de clase online, una página web, etc.
Una sugerencia por respuesta, por favor. Además, incluya una explicación de por qué le gusta el libro, o qué lo hace único o útil.
Creo que la Geometría Algebraica es un tema demasiado amplio como para elegir sólo un libro. Pero mis elecciones personales para los MEJORES LIBROS son
LICENCIATURA: Beltrametti et al. "Conferencias sobre curvas, superficies y variedades proyectivas" que comienza desde el principio con un estilo geométrico clásico. Muy completo (demuestra Riemann-Roch para las curvas en un lenguaje fácil) y concreto en las construcciones clásicas necesarias para entender las razones de por qué se hacen las cosas como en los libros avanzados puramente algebraicos. Hay muy pocos libros como este y deberían ser imprescindibles para empezar a aprender la materia.
A MITAD DE CAMINO: Shafarevich - "Geometría algebraica básica" vol. 1 y 2. Son los más completos en cuanto a fundamentos e introducción a los esquemas, por lo que son muy útiles antes de realizar estudios más abstractos. Pero los problemas son casi imposibles.
GRADUADO PARA ALGEBRISTAS Y TEÓRICOS DE LOS NÚMEROS: Liu Qing - "Geometría algebraica y curvas aritméticas" . Es un libro muy completo que incluso introduce algo de álgebra conmutativa necesaria y prepara al lector para aprender geometría aritmética como la conjetura de Mordell, la de Faltings o incluso el Teorema de Fermat-Wiles. Lleno de ejercicios.
GRADUADO PARA LOS GEÓMETRAS: Griffiths; Harris - "Principios de geometría algebraica" . Con mucho, el mejor para una mente orientada a la geometría compleja. También es útil viniendo de estudios sobre varias variables complejas.
NOTAS EN LÍNEA: Gathmann - "Geometría algebraica" que se puede encontrar aquí . Unos apuntes increíbles; cortos pero muy completos, tratando incluso los esquemas y la cohomología y demostrando Riemann-Roch. Es el mejor libro gratuito que se necesita para obtener suficiente geometría algebraica para entender los otros títulos.
MEJOR EN LOS ESQUEMAS: Görtz; Wedhorn - Geometría algebraica I, esquemas con ejemplos y ejercicios . Un montón de material sobre esquemas; más completo que el Libro Rojo de Mumford. Hace un gran trabajo complementando el tratamiento de esquemas de Hartshorne, sobre todo por los ejercicios más resolubles. Está en camino un segundo volumen sobre cohomología.
DE LICENCIATURA EN CURVAS ALGEBRAICAS: Fulton - "Curvas algebraicas, una introducción a la geometría algebraica" que se puede encontrar aquí . Es un clásico y aunque el sabor es claramente de notas mecanografiadas, es de lejos el libro más corto y manejable sobre curvas, que sirve como una muy buena introducción a todo el tema. Hace todo lo necesario para demostrar Riemann-Roch para curvas.
GRADUADO EN CURVAS ALGEBRAICAS: Arbarello; Cornalba; Griffiths; Harris - "Geometría de las curvas algebraicas" vol 1 y 2. Éste se centra en el lector, por lo que se afirma que hay que trabajar muchos resultados. Así que para algunos es la mejor manera de dominar realmente el tema. Además, el vol. 2 ha aparecido por fin haciendo de los dos enormes volúmenes una referencia completa sobre el tema.
INTRODUCTORIA SOBRE SUPERFICIES ALGEBRAICAS: Beauville - Superficies algebraicas complejas . No he encontrado una forma más rápida y sencilla de aprender y clasificar superficies algebraicas. Los conocimientos previos necesarios son mínimos en comparación con otros títulos.
AVANZADA SOBRE SUPERFICIES ALGEBRAICAS: Badescu - "Superficies algebraicas" . Para aquellos que necesiten un complemento y una ampliación del capítulo de Hartshorne. Realizado con herramientas más avanzadas que Beauville.
EN LA TEORÍA DE LA INTERSECCIÓN: Fulton - Teoría de la intersección . Con mucho, el mejor y más completo libro sobre el tema, desde el teorema general de Bézout hasta el teorema de Grothendieck-Riemann-Roch. Muchos ejemplos.
SOBRE LA RESOLUCIÓN DE SINGULARIDADES: Kollár - Conferencias sobre la resolución de singularidades . Pequeño pero fundamental libro sobre singularidades, métodos de resolución para curvas y superficies y demostración del teorema de Hironaka, piedra angular. La única alternativa principal es el libro de Cutkosky.
SOBRE LOS ESPACIOS DE MODULI Y LAS DEFORMACIONES: Hartshorne - "Teoría de la deformación" . Es el complemento perfecto para el libro principal de Hartshorne, ya que éste no trataba estas cuestiones, y otros libros abordan el tema desde un punto de vista diferente (por ejemplo, orientado a la geometría compleja o a los físicos) de lo que un estudiante de AG del libro de Hartshorne puede desear para aprender el tema. El título alternativo y más fácil es el libro de Sernesi sobre deformación de esquemas algebraicos
EN LA TEORÍA DE INVARIANTES GEOMÉTRICOS: Mumford; Fogarty; Kirwan - "Teoría geométrica invariante" . Simplemente, es la referencia original. Además, el propio Mumford desarrolló el tema. La mejor alternativa a este título y al anterior, pero más en el lado introductorio, es el libro de Mukai sobre módulos e invariantes.
EN VARIEDADES DE MAYOR DIMENSIÓN: Debarre - "Geometría algebraica de dimensión superior" . La principal alternativa a este título es Kollar/Mori "Birational Geometry of Algebraic Varieties", pero se considera mucho más difícil de entender por muchos estudiantes. Se trata de una frontera de investigación muy activa, con nuevos resultados fundamentales demostrados en "Classification of Higher-Dimensional Varieties" de Hacon/Kovács.
Otra opción es KTechlab . Sospecho que la mayoría de la gente no ha oído hablar de él, pero es un programa gratuito de simulación electrónica que permite hacer circuitos sencillos. Los esquemas son fáciles de dibujar y produce formas de onda fácilmente. Lo encuentro más intuitivo y rápido que un simulador SPICE, pero por supuesto no es tan potente. Es más un sistema para pensar en circuitos idealizados, mientras que SPICE es más un sistema para modelar circuitos de la vida real, con todos sus defectos y debilidades. Es sólo para Linux, pero puedes ejecutarlo en Virtualbox o algo así.
Antes del libro de Hartshorne había Libro rojo de variedades de Mumford s. Creo que es un gran libro de texto de introducción a la geometría algebraica moderna (teoría de esquemas).
Me parece que Mumford es bastante bueno motivando nuevos conceptos; en particular, me gusta mucho su desarrollo de la no singularidad y la gavilla de diferenciales. Creo que otro gran aspecto de este libro es que hace hincapié en cómo definir las cosas intrínsecamente (es decir, sin referencia a una inmersión cerrada o abierta en el espacio afín) pero también explica cómo hacer argumentos locales (es decir, utilizando la inmersión en el espacio afín). Un ejemplo clásico de lo anterior:
(espacio tangente no intrínseco): Supongamos que X es una variedad y que p es un punto de X. Elija una vecindad afín de modo que p corresponda al origen. Entonces esta vecindad afín es spec k[x1, ..., xn]/I para algún ideal. Sea I' todos los términos lineales de I (es decir, si I = (x,y^2), entonces I' = (x)). Entonces el espacio tangente en p es spec k[x1,...,xn]/I'.
(espacio tangente intrínseco): Sea m el ideal máximo del anillo local de la gavilla estructural en p, entonces el espacio tangente es el dual del espacio vectorial m/m^2.
Si se toma el espectro del álgebra simétrica de la segunda, se obtiene la primera.
Algunos inconvenientes. Este libro no abarca tanto como el de Hartshorne. No tiene tantos ejercicios. La notación es ligeramente diferente; los esquemas integrales de tipo finito se llaman pre-variedades y se puede quitar el `pre' si también está separado. No obstante, creo que es un gran complemento a la lectura de Hartshorne.
En primer lugar, tienes razón en que las soluciones no Minkowski de la teoría de cuerdas, en las que el campo gravitatorio es macroscópico, deben pensarse como un condensado de un gran número de gravitones (que son una de las partículas del espaciotiempo asociadas a un grado de libertad de la cuerda). (Nota: una partícula puntual, correspondiente a la teoría cuántica de campos, no tiene grados de libertad internos; las diferentes partículas provienen simplemente de las diferentes etiquetas asociadas a los ponits. Una cuerda tiene muchos grados de libertad, cada uno de los cuales corresponde a una partícula en la interpretación espaciotemporal de la teoría de cuerdas, es decir, la teoría del campo efectivo).
A su pregunta (1): ciertamente no hay un gran principio organizador de la teoría de cuerdas (todavía). Un principio práctico es que la teoría de campo bidimensional (cuántica) que describe las fluctuaciones de la hoja del mundo de las cuerdas debe ser conformal es decir, independiente de la invariancia de escala local de la métrica. Esto nos permite integrar sobre todas las métricas en superficies de Riemann sólo hasta difeomorfismos y escalamientos es decir, sólo hasta un número finito de grados de libertad. Es una integral que podemos hacer. (Si fuéramos capaces de integrar sobre todas las métricas de una manera que sea sensata dentro de la teoría cuántica de campos, ya habríamos sido capaces de cuantizar la gravedad). Ahora bien, la invariancia de escala impone restricciones a los campos espaciotemporales de fondo utilizados para construir la acción 2d (como la métrica, que determina la energía del mapa de la hoja del mundo de la cuerda). Estas restricciones se reducen a las ecuaciones de Einstein.
No es una derivación muy fundamental, pero formular la teoría de cuerdas de forma independiente del punto de partida ("independencia del fondo") es notoriamente complicado.
(2): Esto va bajo el nombre de "cadenas en campos de fondo", y se puede encontrar en el volumen 1 de Green, Schwarz y Witten.
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