¿Cuál es la diferencia entre conjuntos abiertos y cerrados?
Especialmente en relación con la topología, se agradecen las definiciones rigurosas, pero es igual de importante la intuición.
Respuestas
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schmidty
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Intuitivamente, un conjunto abierto es un conjunto sin frontera: cada elemento del conjunto tiene, en su vecindad, otros elementos del conjunto. Si, partiendo de un punto del conjunto abierto, te alejas un poco, nunca sales del conjunto.
Un conjunto cerrado es el complemento de un conjunto abierto (es decir, lo que queda "fuera" del conjunto abierto).
Nótese que existen algunos conjuntos que no son ni abiertos ni cerrados.
Shawn Miller
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3875
La definición rigurosa de conjuntos abiertos y cerrados es fundamental para la topología: se define una topología diciendo cuáles son sus conjuntos abiertos. Desde esta perspectiva, los conjuntos abiertos y cerrados son axiomáticos, como los puntos y las líneas en geometría. En cualquier caso, los conjuntos cerrados son los complementos de los conjuntos abiertos y viceversa.
El ejemplo más familiar de conjuntos abiertos serían los intervalos abiertos en la recta real, intervalos de la forma {x : a < x < b}. Estos conjuntos y sus uniones arbitrarias definen la topología estándar de la recta real.
Tenga en cuenta que el párrafo anterior describe el estándar topología, pero no la única. Se podría poner una topología muy diferente en la línea real. Eso es porque una topología está determinada por lo que llamas conjuntos abiertos y no por el espacio subyacente por sí mismo . Por ejemplo, otra topología sobre la recta real define que un conjunto es abierto si su complemento sólo tiene un número finito de puntos.
Can Berk Güder
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Un conjunto abierto es un conjunto S para el que, dado cualquiera de sus elementos A, se puede encontrar una bola centrada en A y cuyos puntos están todos en S.
Un conjunto cerrado es un conjunto S para el que, si se tiene una secuencia de puntos en S que tienden a un punto límite B, B también está en S.
Intuitivamente, un conjunto cerrado es un conjunto que contiene su propia frontera, mientras que un conjunto abierto es un conjunto del que no se puede salir si se mueve un poco.
Sven
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No voy a reiterar las bonitas definiciones que se encuentran en las otras respuestas, sin embargo creo que estas definiciones "prácticas" podrían ayudarte también a nivel intuitivo.
Los conjuntos abiertos se suelen utilizar como dominios de funciones, ya que son más útiles para analizar propiedades "continuas" como la diferenciabilidad. Además, no tienen bordes desagradables (por lo que no hay que lidiar con funciones que se comportan bien sólo en un lado del borde).
Los conjuntos cerrados son útiles porque, si son limitados, son compactos.
Lehs
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3591
El conjunto $\tau$ de subconjuntos abiertos de un conjunto $X$ es una estructura algebraica con $\cup$ y $\cap$ . La intersección de dos conjuntos en $\tau$ debe ser un conjunto en $\tau$ . Y la unión $\displaystyle\bigcup_{i\in I}\mathcal O_{i}$ debe estar en $\tau$ para cualquier conjunto de conjuntos abiertos $\{\mathcal O_{i}\}_{i\in I}$ . También $\emptyset,X\in\tau$ . Y eso es todo.
El conjunto $\sigma$ de subconjuntos cerrados de un conjunto $X$ es el conjunto $\{\complement_X\mathcal O \}_{\mathcal O\in\tau}$ que es el doble estructura tal que la unión de dos conjuntos cerrados cualesquiera es un conjunto cerrado y tal que $\displaystyle\bigcap_{i\in I}\mathcal F_{i}$ es cerrado para cualquier conjunto de conjuntos cerrados $\{\mathcal F_{i}\}_{i\in I}$ . Y $\emptyset,X$ son tanto abiertos como cerrados.
Cualquiera de estas dos estructuras define una topología en $X$ que añade un concepto de proximidad a $X$ . Con una topología sobre un conjunto $X$ no sólo es posible decidir qué elementos pertenecen a un subconjunto de $X$ pero también qué elementos de $X$ que está cerca de ese subconjunto:
$x\in \overline A \Leftrightarrow \forall\mathcal O\in\tau:x\in\mathcal O\Rightarrow A\cap\mathcal O\neq\emptyset\qquad$ o bien, dualmente
$\displaystyle\overline A=\bigcap_{\mathcal F\in\sigma_A}\mathcal F$ , donde $\sigma_A=\{\mathcal F\in\sigma|A\subseteq \mathcal F\}$ .
La proximidad es una extensión de la pertenencia a un conjunto en un espacio topológico $(X,\tau)$ (o doblemente $(X,\sigma)$ ) y también se puede definir explícitamente y luego definir la topología por sí misma:
Dada una relación binaria $\propto\subseteq X^2$ tal que
- $\neg\exists x\in X:x\propto\emptyset$
- $x\in A\Rightarrow x\propto A$
- $x\propto A\subseteq B \Rightarrow x\propto B$
- $x\propto A\cup B\Rightarrow x\propto A \vee x\propto B$ .
Entonces $\propto$ define una relación de proximidad topológica (y una topología) sobre X mediante $x\in\overline A\Leftrightarrow x\propto A$ .
