Cómo probar e interpretar $\operatorname{rank}(AB) \leq \operatorname{min}(\operatorname{rank}(A), \operatorname{rank}(B))$ ?

Question

Sean A y B dos matrices multiplicables.
Entonces $\operatorname{rank}(AB) \leq \operatorname{min}(\operatorname{rank}(A), \operatorname{rank}(B))$

He probado $\operatorname{rank}(AB) \leq \operatorname{rank}(B)$ interpretando AB como una composición de mapas lineales, observando que $\operatorname{ker}(B) \subseteq \operatorname{ker}(AB)$ y utilizando la fórmula de la dimensión del núcleo de la imagen. Esto también proporciona, en mi opinión, una buena interpretación: si no es estable, bajo composiciones posteriores el núcleo sólo puede hacerse más grande, y la imagen sólo puede hacerse más pequeña, en una especie de pérdida de información .

Cómo gestionar $\operatorname{rank}(AB) \leq \operatorname{rank}(A)$ ? ¿Existe una interpretación agradable como la anterior?

Answer 1

Sí. Si pensamos en A y B como mapas lineales, entonces el dominio de A es ciertamente al menos tan grande como la imagen de B. Así, cuando aplicamos A a cualquiera de estas cosas, deberíamos obtener "más cosas" en el primer caso, ya que el primero es más grande que el segundo.

Answer 2

Una vez que haya probado $\operatorname{rank}(AB) \le \operatorname{rank}(B)$ se puede obtener la otra desigualdad utilizando la transposición y el hecho de que no cambia el rango (véase, por ejemplo, este pregunta ).

En concreto, dejar que $C=A^T$ y $D=B^T$ tenemos que $\operatorname{rank}(DC) \le \operatorname{rank}(C) \implies \operatorname{rank}(C^TD^T)\le \operatorname{rank} (C^T)$ que es $\operatorname{rank}(AB) \le \operatorname{rank}(A)$ .

Answer 3

Suena contradictorio. El dispositivo real utiliza engranajes unidos a una turbina eólica. Aunque la turbina se movía más rápido que el viento, el empuje (creo que) era tal que frenaba el campo de viento. Así que se extraía energía del campo eólico para hacer girar las ruedas mediante la relación de engranajes adecuada. En cualquier caso, la energía se extrae del campo de viento, por lo que no se violan las leyes de la física. Viajar en ángulo con el viento es más fácil de visualizar. De hecho, las palas de los aerogeneradores se desplazan en ángulo recto con respecto al viento a múltiplos de la velocidad del mismo. Pero eso es diferente. Este era un dispositivo realmente ingenioso, y a menos que se muestre cómo funciona (no recuerdo los detalles) la mayoría de los físicos piensan que "no hay manera". Sospecho que habría que empujarlo a una velocidad superior a la del viento para que funcione. Sin ruedas unidas a la tierra sólida no funcionaría, es básicamente aumentar el campo de viento que se acopla a la tierra sólida.

Answer 4

He aquí otra respuesta sencilla. Cuando se multiplica una matriz y un vector $Ax$ se termina con una combinación lineal de las columnas de $A$ .

$$ Ax = \; x_1\,A_1 \;+\; x_2\,A_2 \;+\; x_3\,A_3 \;+\;\; ...\;\; \\ $$

Cuando multiplicamos dos matrices $AB = C$ tenemos $AB_i = C_i$ lo que significa que cada columna de $C$ es una combinación lineal de las columnas de $A$ Así que $\text{rank}(AB) \leq \text{rank}(A)$ . Para demostrar que $\text{rank}(AB) \leq \text{rank}(B)$ seguimos un argumento similar cuando se multiplica $x^{\top}B$ se termina con una combinación lineal de las filas de $B$ .

Answer 5

Dejemos que $ m \le n, A \in M_{m\times n}, B\in M_{n\times m}$ .

$\mbox{rank } A\le m$ y $\text{rank }B\le m$ . (Hecho evidente como rango A = dimensión del espacio de columnas de A = dimensión del espacio de filas de A).

Dejemos que $E_{n\times n}B$ sea la forma escalonada de $B$ y que $AE_{m\times m} $ sea la forma escalonada de columna de $A$ . ( $E_{n\times n} ,E_{m\times m}$ son matrices elementales).

Sabemos que $\operatorname{rank}(BA)=\operatorname{rank}(E_{n\times n}BA )=\operatorname{rank}(E_{n\times n}BAE_{m\times m} )$ .

Pero $E_{n\times n}BAE_{m\times m} =\begin{pmatrix} L&0\\ 0&0\\ \end{pmatrix},$ donde $L$ es un $k\times l$ matriz con $k\le \operatorname{rank}(B),l\le \operatorname{rank}(A)$ .

Así que $\operatorname{rank}(E_{n\times n}BAE_{m\times m} )=\operatorname{rank}\begin{pmatrix} L&0\\ 0&0\\ \end{pmatrix}\le \min\{k,l\}\le \min\{\mbox{rank } A,\mbox{rank }B\}.$