¿Por qué las álgebras de Hopf se llaman grupos cuánticos?

Question

¿Por qué las álgebras de Hopf no conmutativas se llaman grupos cuánticos? Parece que se trata de una noción puramente matemática y que, a primera vista, no hay nada cuántico en ella.

Answer 1

Una de las formas en que aparecen las álgebras de Hopf es como álgebra de funciones (reales o complejas) sobre un grupo topológico. La multiplicación es conmutativa, ya que sólo es una multiplicación puntual de funciones. Sin embargo, en la geometría no conmutativa se quiere sustituir el álgebra de funciones sobre un espacio por un álgebra no conmutativa, dando lugar a un álgebra de Hopf no conmutativa.

Esto se relaciona con la mecánica cuántica porque allí el análogo de las funciones de coordenadas clásicas de posición y momento no conmuta. Por lo tanto, pensamos que el álgebra de funciones en un "espacio" cuántico no es conmutativa.

Answer 2

No puedo comentar, y esto debería ser un comentario...

Observe que la pregunta del título y la del cuerpo de la pregunta son muy diferentes.

Un álgebra de Hopf no conmutativa no es lo mismo que un grupo no conmutativo, y los grupos cuánticos son normalmente asociativo.