Aplicaciones de la clase de número

Question

Existe la noción de número de clase en teoría de números algebraicos. ¿Por qué se define tal noción y qué beneficios se obtienen de ella?

Es agradable si es $1$; tenemos la factorización única de todos los ideales; pero, ¿y si no lo es?

Answer 1

Tal como han señalado otros, a menudo lo que se desea para una aplicación diofántica particular es que el número de clase de un cierto campo numérico sea relativamente primo a un cierto número. El famoso ejemplo de esto (como ya señalaron otros) es el Teorema de Kummer que para un número primo impar $p$, la ecuación de Fermat $x^p + y^p = z^p$ no tiene soluciones enteras con $xyz \neq 0$ si el anillo de enteros de $\mathbb{Q}[e^{\frac{2 \pi i}{p}}]$ tiene número de clase primo con respecto a $p$.

Otro ejemplo sencillo y agradable es la ecuación de Mordell $y^2 + k = x^3$. Si $k \equiv 1,2 \pmod 4$ y el anillo $\mathbb{Z}[\sqrt{-k}]$ tiene número de clase primo con respecto a $3$, entonces todas las soluciones enteras a la ecuación de Mordell se pueden encontrar. Consulta la Sección 4 de

http://alpha.math.uga.edu/~pete/4400MordellEquation.pdf

para una exposición de esto que espero que sea razonablemente elemental y accesible para estudiantes universitarios.

Answer 2

El grupo de clases de un cuerpo numérico $K$ se puede utilizar para parametrizar otros objetos.

1) Si $[L:K] = n$, la posible estructura de módulo $O_K$ de $O_L$ está descrita por las clases de ideales de $K$, aunque aún es una pregunta abierta en general demostrar para cada $n > 1$ y cada clase ideal de $K$ que existe una extensión $L/K$ con grado $n$ tal que $O_L$ como un $O_K$-módulo corr. a esa clase ideal. (Esto se conoce para pequeños $n$, pero no para $n$ general.)

2) Las órbitas de la acción de $\text{SL}_2(O_K)$ en ${\mathbf P}^1(K)$ están en biyección con las clases de ideales en $K$. Por ejemplo, la acción es transitiva si y solo si $K$ tiene número de clase 1.

3) Cuando $O$ es un orden cuadrático con discriminante $d$, el grupo de clases (estrecho) de $O$ describe los formas cuadráticas primitivas de discriminante $d$ hasta la equivalencia adecuada. Aquí necesitamos un concepto ligeramente más general que el grupo de clases de ideales habitual (a menos que $O = O_K$).

4) Las ecuaciones de Weierstrass para una curva elíptica sobre $K$ hasta un cambio de variables estándar están relacionadas con las clases de ideales en $K$ (ver el primer libro de Silverman sobre curvas elípticas, Cap. VIII).

Answer 3

Decimos que un primo p es regular si no divide al número de clase del campo ciclotómico p-ésimo. Para los primos regulares, es fácil probar el último teorema de Fermat, como se describe, por ejemplo, en las notas de Milne.

Básicamente, todo sería fácil si el número de clase fuera 1, en cuyo caso se podría utilizar la factorización única. Si el número de clase es primo respecto a p, se utiliza el hecho de que todo ideal cuyo p-ésimo poder sea principal debe ser principal en sí mismo. Esto, junto con la factorización única para ideales, resulta ser todo lo que se necesita en la prueba ingenua.

Answer 4

Bueno, la teoría de cuerpos de clases afirma que el número de clases es el grado de la extensión abeliana en todas partes no ramificada más grande de un campo de números (a saber, el campo de clases de Hilbert). Pero la teoría de cuerpos de clases realmente dice mucho más: dice que hay un isomorfismo entre el grupo de Galois y el grupo de clases de ideales. Y en general, para cualquier extensión abeliana $L/K$, hay un isomorfismo entre $G(L/K)$ y un cierto "grupo de clases de ideales generalizado" de $K$ donde se hace un cociente por ideales que son normas de $L$. Esto se puede expresar de manera más elegante utilizando ideles.

Pero, preguntaste sobre el número de clases. En la teoría de cuerpos de clases, es difícil (hasta donde yo sé) probar directamente que el mapa de reciprocidad de Artin definido de ideales al grupo de Galois es un isomorfismo. Sin embargo, puedes mostrar que es sobreyectivo e inyectivo; para hacer esto, debes estimar el orden de estos grupos de clases de ideales generalizados, lo que puedes hacer usando métodos analíticos (L-funciones) o métodos algebraicos (por ejemplo, usando el cociente de Herbrand). Así que aquí es donde el tamaño y las propiedades aparentemente "decategorificadas" (como el orden) se vuelven más importantes que los grupos mismos: las demostraciones.

Answer 5

Frecuentemente, al estudiar ecuaciones diofánticas, o problemas relacionados, uno se ve obligado a mirar anillos de enteros de campos de números algebraicos, y puede ser que el número de clase del anillo con el que te ves obligado a tratar sea > 1. En este caso, no hay nada que puedas hacer para cambiar ese hecho; tienes que vivir con ello.

Como respuesta, es natural intentar desarrollar una teoría del número de clase y del grupo de clase, como un medio para encontrar formas de lidiar con el fallo de la factorización única. Kummer fue quien inventó la noción de número de clase, y lo hizo en el transcurso de su trabajo sobre el Último Teorema de Fermat; esto es lo que se describe en la respuesta de Andrea Ferretti, y es un excelente ejemplo de lo que estoy hablando.

Otro ejemplo, bastante diferente en su naturaleza, ocurre en la prueba del teorema de Dirichlet sobre primos en progresiones aritméticas. Este es el teorema que dice que si a y d son números naturales coprimos, entonces hay infinitos primos p tales que p es congruente con a módulo d.

En su demostración, él reduce todo a demostrar que un cierto número (el valor en 1 de cierta llamada L-función) es distinto de cero. Entonces es capaz de dar una fórmula precisa para esta L-función, y muestra que es igual a ciertas constantes no nulas veces un cierto número de clase. Dado que el número de clase es positivo (¡y por lo tanto, en particular, es distinto de cero!), él es capaz de completar su demostración.