He visto y estudiado esta ecuación de clase para un grupo finito que actúa sobre sí mismo mediante conjugaciones. Las únicas aplicaciones que conozco son la teorema de Cauchys y el teorema de Sylow. ¿Hay más?
Una buena aplicación es el teorema de Wedderburn: todo campo inclinado finito es necesariamente conmutativo. En este caso, un campo inclinado es algo que satisface los mismos axiomas que un campo, excepto que no se requiere que la multiplicación sea conmutativa; el ejemplo típico son los cuaterniones.
Para ver esto, dejemos $F$ sea un campo oblicuo finito, $Z$ ser su centro. Es fácil ver que $Z$ es un campo, por lo que debe ser $\mathbb{F}_q$ para alguna potencia primera $q = p^k$ . $F$ será entonces un espacio vectorial de dimensión finita $n$ en $\mathbb{F}_q$ por lo que tendrá $q^n$ elementos.
Ahora escribe la ecuación de clase para el grupo multiplicativo de $F$ :
$$q^n - 1 = q - 1 + \sum_i \frac{q^n - 1}{q^{t_i} - 1}$$
Aquí $q - 1$ aparece como la cardinalidad del centro, mientras que la suma se extiende sobre un conjunto de representantes de las clases de conjugación no triviales.
Tenga en cuenta que para $q^{t_i} - 1$ para dividir $q^n - 1$ , $t_i$ debe dividir $n$ . De hecho, el orden de $q$ modulo $q^{t_i} - 1$ es $t_i$ y $q^n = 1 \pmod{q^{t_i} - 1}$ .
Ahora dejemos que $f_n$ sea el $n$ -ésimo polinomio ciclotómico. Entonces $f_n(q)$ divide $q^n - 1$ y también divide cada término en la suma, por lo que $f_n(q)$ divide $q - 1$ .
Pero esto es imposible a menos que $n = 1$ y la suma está vacía, en cuyo caso $F$ es conmutativo. En efecto, $f_n(q)$ es un producto de términos de la forma $q - \omega$ , donde $\omega$ es una raíz de la unidad, y este producto tendrá mayor valor absoluto que $q - 1$ tan pronto como $n > 1$ .
La ecuación de clase implica un finito no trivial $p$ -tiene un centro no trivial, o más generalmente que un subgrupo normal no trivial de un grupo finito no trivial $p$ -grupo $G$ contiene un elemento no trivial del centro de $G$ . (Nota: existen grupos infinitos en los que cada elemento tiene $p$ -orden de potencia y el centro es trivial, por lo que la suposición de finitud del grupo es importante). Esto tiene otras consecuencias estándar para la finitud $p$ -grupos, aunque ya no son consecuencias directas de la ecuación de clase.
La propia ecuación de clase es un caso especial de un resultado más general: la fórmula del estabilizador orbital para acciones de grupo. Que tiene muchos usos.
Los residuos más fáciles de entender son los de desviación, ya que cuando se elevan al cuadrado suman -2 veces la log-verosimilitud. En sus términos más sencillos, la regresión logística puede entenderse como el ajuste de la función $p = \text{logit}^{-1}(X\beta)$ para los conocidos $X$ de manera que se minimice la desviación total, que es la suma de los residuos de desviación al cuadrado de todos los puntos de datos.
La desviación (al cuadrado) de cada punto de datos es igual a (-2 veces) el logaritmo de la diferencia entre su probabilidad predicha $\text{logit}^{-1}(X\beta)$ y el complemento de su valor real (1 para un control; un 0 para un caso) en términos absolutos. Un ajuste perfecto de un punto (que nunca se produce) da una desviación de cero ya que el log(1) es cero. Un punto mal ajustado tiene una desviación residual grande, ya que -2 veces el logaritmo de un valor muy pequeño es un número grande.
Hacer una regresión logística es como encontrar un valor beta tal que la suma de los residuos de desviación al cuadrado se minimice.
Esto se puede ilustrar con un gráfico, pero no sé cómo subir uno.
http://en.wikipedia.org/wiki/Burnside 's_lemma
El lema de Burnside puede deducirse fácilmente de la ecuación de clase y es útil en combinatoria
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