¿Por qué el discriminante de un polinomio integral tiene coeficientes integrales?

Question

Vale, vale, ya sé que de hecho el discriminante se define (hasta el signo) como producto de las diferencias de las raíces del polinomio.

Pero, ¿por qué tiene entonces coeficientes integrales, si el polinomio con el que empezó tenía coeficientes enteros?

Answer 1

El cuadrado del discriminante es simétrico en las raíces del polinomio; si se permutan las raíces, se queda igual. Por la teorema fundamental de las funciones simétricas , lo que significa que se puede expresar como un polinomio, con coeficientes enteros, en los coeficientes del polinomio original. (Aquí estoy usando tanto "coeficientes" como "polinomio" en dos sentidos, así que hazme saber si esto no tiene sentido). Esta es una observación básica que será importante si alguna vez estudias la teoría de Galois.

Un ejemplo probablemente lo aclare. Supongamos que tengo un polinomio cuadrático $x^2 + bx + c$ con dos raíces $r_1, r_2$ . Entonces $x^2 + bx + c = (x - r_1)(x - r_2)$ Así que $b = - r_1 - r_2$ y $c = r_1 r_2$ . Estos son los funciones simétricas elementales en dos variables, y el teorema anterior implica que toda función polinómica de $r_1$ y $r_2$ que es invariable bajo la conmutación de los dos es en realidad un polinomio en $b$ y $c$ . Por ejemplo, el discriminante es

$$(r_1 - r_2)^2 = r_1^2 - 2r_1 r_2 + r_2^2 = (r_1 + r_2)^2 - 4r_1 r_2 = b^2 - 4c.$$

Answer 2

Para las variedades modulares de Siegel, sólo estás pidiendo la cohomología del grupo simpléctico Sp_{2g}(Z) y o algunos de sus subgrupos de congruencia; tu búsqueda encendida puede funcionar mejor para el material sobre la cohomología de los grupos aritméticos que para la cohomología de los espacios de moduli.

I será más fácil encontrar afirmaciones sobre H^i(A_{g,N}) donde i es pequeño en relación con g; ¿es ese el tipo de cosas que necesitas, o necesitas conocer la cohomología en todos los grados?