Hay muchas bases disponibles. ¿Por qué el extraño número $e$ ¿se prefiere sobre todo lo demás?
Por supuesto, se podría integrar $\frac{1}x$ y ver esto. Pero, ¿hay algo más en la historia?
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prakash
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La diferenciación y la integración es precisamente la razón por la que se considera natural, pero no sólo porque $$\displaystyle\int \frac{1}{x} dx=\ln x$$
$e^x$ tiene las dos siguientes buenas propiedades
$$ \frac{d}{dx} e^x=e^x $$
$$ \int e^x dx=e^x+c $$
Si miramos $a^x$ en su lugar, obtendríamos:
$$\frac {d} {dx} a^x= \frac{d}{dx} e^{x\ln(a)}=\ln(a) \cdot a^x$$
$$\int a^x dx= \int e^{x\ln(a)} dx=\frac{a^x}{\ln(a)}+c$$
Así que $e$ es vital para la integración y diferenciación de exponenciales.
Si sabes algo de álgebra lineal, aquí tienes una razón abstracta: $e^x$ es el único vector propio del valor propio $1$ de la derivada $D$ actuando, por ejemplo, en el espacio de funciones suaves sobre $\mathbb{R}$ . ¿Por qué es importante? El estudio de las soluciones de las ecuaciones diferenciales lineales con coeficientes constantes es equivalente al estudio de los espacios nulos de los operadores que son polinomios en $D$ por ejemplo, operadores de la forma $\sum a_k D^k$ . Cualquier operador de este tipo se conmuta automáticamente con $D$ por lo que este espacio nulo se divide en espacios eigénicos de $D$ . Por eso, las soluciones de las ecuaciones diferenciales lineales con coeficientes constantes pueden expresarse como sumas de exponenciales complejas. La elección de $e$ hace especialmente fácil ver cuál es el valor propio: el valor propio del vector propio $e^{\lambda x}$ es $\lambda$ .
Yaakov Ellis
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El artículo de la wikipedia sobre e cuenta un poco de la historia.
Un ejemplo es una cuenta que comienza con 1,00 y paga el 100% de intereses al año. Si el interés se acredita una vez, al final del año, el valor es de 2,00; pero si el interés se computa y suma dos veces en el año, el 1 se multiplica por 1,5 dos veces, dando 1,00×1,5² = 2,25 $. Si se compone trimestralmente, se obtiene 1,00×1,25 4 \= 2,4414 , y la capitalización mensual da como resultado 1,00×(1,0833 ) 12 \= 2.613035 .
Bernoulli observó que esta secuencia se aproxima a un límite (la fuerza del interés) para intervalos de composición cada vez más pequeños. Si se compone semanalmente se obtiene 2,692597 , mientras que si se compone diariamente se obtiene 2,714567 , sólo dos céntimos más. Utilizando n como número de intervalos de capitalización, con un interés del 100%/n en cada intervalo, el límite para n grande es el número que se conoce como e; con la capitalización continua, el valor de la cuenta alcanzará 2,7182818 . En términos más generales, una cuenta que comienza con 1 dólar y rinde (1+R) dólares a interés simple, producirá e R dólares con la capitalización continua.
Además, es la base de la función exponencial y = k^x encontrar un valor específico para k donde d/dx k^x = k^x . Es decir, la tasa de cambio de la curva exponencial en cualquier punto es igual al valor y de la curva en ese punto.
Kevin Dente
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El Artículo de Wikipedia sobre e enumera muchas propiedades de la constante que la hacen natural.
Creo que la mayor razón por la que es natural cuando se trata de exponenciación/logaritmos es que es el único número que satisface
$$ \frac{d}{dt} e^t =e^t $$ mientras que cualquier otro número satisface
$$ \frac{d}{dt} a^t = c \cdot a^t$$ donde $c$ es alguna constante, diferente de 1. Esto lo hace "normalizado" en cierto sentido.
Austin Mohr
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Si se consideran todas las ecuaciones exponenciales $a^x$ Todos ellos tienen $y$ -intercepción $(0,1)$ . Si quisieras especificar una ecuación exponencial arquetípica a la que referirte mientras trabajas con el Cálculo, una opción natural sería elegir aquella cuya línea tangente en $(0,1)$ tiene pendiente 1. La ecuación $e^x$ es la única ecuación exponencial con esa propiedad.
