Separación de variables para ecuaciones diferenciales parciales

Question

¿Qué clase de ecuaciones diferenciales parciales pueden resolverse mediante el método de separación de variables?

Answer 1

Existe una aproximación teórica de Lie extremadamente bella a la separación de variables, por ejemplo, ver la obra de Willard Miller libro [1] (descargable gratuitamente). Cito su introducción:

Este libro se ocupa de la relación entre las simetrías de un ecuación diferencial parcial de segundo orden de segundo orden de la física matemática física matemática, los sistemas de coordenadas en que la ecuación admite soluciones mediante la separación de variables, y las propiedades de las funciones especiales que surgen de esta manera. Se trata de una introducción destinada a cualquier persona con experiencia en ecuaciones diferenciales parciales funciones especiales, o la teoría de grupos de de grupos, como los teóricos de grupos teóricos de grupos, matemáticos aplicados, físicos teóricos y químicos, e ingenieros eléctricos. Se expondremos algunos giros de la teoría de grupos moderna de grupos en el antiguo método de de separación de variables que pueden ser para fundamentar gran parte de las de la teoría de las funciones especiales. En En particular, mostraremos explícitamente que todas las funciones especiales que surgen mediante la separación de variables en las ecuaciones de la física matemática pueden estudiarse mediante la teoría de grupos. Estas incluyen las funciones de Lam6, Ince Mathieu, y otros, así como las de tipo hipergeométrico.

Este es un momento muy crítico en la historia de los métodos teóricos de grupos en teoría de las funciones especiales. Las relaciones entre los grupos de Lie, las funciones funciones especiales y el método de de separación de variables han sido recientemente se han aclarado. Ahora se puede construir una máquina teórica de grupos que, cuando aplicada a una determinada ecuación diferencial ecuación diferencial de física matemática, describe de manera racional los posibles sistemas de coordenadas en los que la ecuación admite soluciones mediante separación de variables y los diversos teoremas de expansión que relacionan las soluciones separables (función especial) soluciones en distintos sistemas de coordenadas sistemas de coordenadas. En efecto, para las ecuaciones lineales más importantes ecuaciones lineales, las soluciones separables soluciones separadas se caracterizan como eigenfunciones de conjuntos de elementos conmutables de segundo orden en el álgebra envolvente universal del del álgebra de simetría de Lie correspondiente a la ecuación. El problema de expandir un conjunto de soluciones separables en términos de otro se reduce a a un problema en la teoría de la representación del álgebra de simetría de Lie.

[1] Willard Miller. Simetría y separación de variables.
Addison-Wesley, Reading, Massachusetts, 1977 (agotado)

Answer 2

Por ejemplo, las EDP lineales homogéneas con variable dependiente $u$ y las variables independientes $x$ y $y$ la condición de separabilidad es que las EDP pueden reescribirse en la forma $\dfrac{\sum\limits_{a_1=0}^{b_1}M_{a_1}(x)X^{[a_1]}(x)}{\sum\limits_{a_2=0}^{b_2}N_{a_2}(x)X^{[a_2]}(x)}=\dfrac{\sum\limits_{a_3=0}^{b_3}P_{a_3}(y)Y^{[a_3]}(y)}{\sum\limits_{a_4=0}^{b_4}Q_{a_4}(y)Y^{[a_4]}(y)}$ al dejar $u(x,y)=X(x)Y(y)$ .

Por ejemplo, la PDE $x^2u_{xy}-yu_{yy}+u_x-4u=0$ mencionado en La forma canónica de una EDP no lineal de segundo orden es un ejemplo inseparable mientras que la PDE $u_{xy}-yu_{yy}+u_x-4u=0$ es un ejemplo separable.

Partiendo de las EDP con tres variables independientes, las condiciones separables son más difíciles de describir, ya que por ejemplo las EDP lineales homogéneas con variable dependiente $u$ y las variables independientes $x$ , $y$ y $z$ las EDP son separables cuando las EDP no sólo pueden reescribirse en la forma $\dfrac{\sum\limits_{a_1=0}^{b_1}M_{1,a_1}(x)X^{[a_1]}(x)}{\sum\limits_{a_2=0}^{b_2}M_{2,a_2}(x)X^{[a_2]}(x)}+\dfrac{\sum\limits_{a_3=0}^{b_3}M_{3,a_3}(y)Y^{[a_3]}(y)}{\sum\limits_{a_4=0}^{b_4}M_{4,a_4}(y)Y^{[a_4]}(y)}+\dfrac{\sum\limits_{a_5=0}^{b_5}M_{5,a_5}(z)Z^{[a_5]}(z)}{\sum\limits_{a_6=0}^{b_6}M_{6,a_6}(z)Z^{[a_6]}(z)}=0$ al dejar $u(x,y,z)=X(x)Y(y)Z(z)$ pero también cuando las EDP pueden reescribirse a la forma $\dfrac{\sum\limits_{a_1=0}^{b_1}M_{1,a_1}(x)X^{[a_1]}(x)}{\sum\limits_{a_2=0}^{b_2}M_{2,a_2}(x)X^{[a_2]}(x)}+\dfrac{\sum\limits_{a_3=0}^{b_3}M_{3,a_3}(y)Y^{[a_3]}(y)}{\sum\limits_{a_4=0}^{b_4}M_{4,a_4}(y)Y^{[a_4]}(y)}+\dfrac{\sum\limits_{a_3=0}^{b_3}N_{3,a_3}(y)Y^{[a_3]}(y)\sum\limits_{a_5=0}^{b_5}M_{5,a_5}(z)Z^{[a_5]}(z)}{\sum\limits_{a_4=0}^{b_4}N_{4,a_4}(y)Y^{[a_4]}(y)\sum\limits_{a_6=0}^{b_6}M_{6,a_6}(z)Z^{[a_6]}(z)}=0$ al dejar $u(x,y,z)=X(x)Y(y)Z(z)$ .