Existe un teorema de Riemann al respecto. ¿Cómo demostrarlo?
Nota: Esto fue preguntado por Kenny en la beta de "cálculo".
En general, si $\sum\limits_{i=1}^{\infty} c_n$ es una serie condicionalmente convergente de complejo números, entonces la colección de sumas de todos los reordenamientos convergentes es un subespacio afín del plano $\mathbb{C}$ .
He aquí un esbozo de por qué esto es cierto.
Supongamos que $A$ y $B$ son dos reordenamientos que convergen a los números complejos distintos $a,b$ respectivamente. Centrarse en una suma parcial de $A$ que está bastante cerca de $a$ . Una suma parcial suficientemente larga de $B$ incluirá cada término de la antigua suma parcial de $A$ pero también tenderá a $b$ a medida que se van tomando más y más términos. Está "claro" entonces que es posible obtener cualquier combinación $ta + (1 - t)b$ para $t \in \mathbb{R}$ .
Si además hay un punto $c$ que es la suma de algún reordenamiento pero no está en la línea que pasa por $a$ y $b$ entonces se puede volver a aplicar el resultado anterior, sustituyendo los números $a$ y $b$ con los números $c$ y $d$ , donde $d$ es cualquier punto de la línea que pasa por $a$ y $b$ . Se deduce que en este caso todo el plano $\mathbb{C}$ se obtiene reordenando la serie original.
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