Para $n > 1$ un número entero, existen fórmulas conocidas para el volumen de las bolas.
¿Cuál es el enunciado análogo en un espacio de Banach/Espacio de Hilbert?
Respuestas
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Reto Meier
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En un espacio normado de dimensión infinita con una medida invariante de traslación, la medida de una bola debe ser $0$ o $\infty$ . Este hecho se resume a veces como " no hay ninguna medida de Lebesgue de dimensión infinita ." Así que, a no ser que tengas otra noción de "volumen" en mente, sólo el caso de dimensión finita (es decir $\mathbb{R}^n$ con alguna otra norma) tiene algún contenido. Y con respecto a los espacios de Hilbert, los únicos espacios de Hilbert de dimensión finita son $\mathbb{R}^n$ con el producto interior euclidiano, así que por supuesto que lo sabemos.
Permítanme contarles lo que sé sobre la cohomología de los subgrupos de congruencia de Sp_{2g}( \Z ). En cuanto a la cohomología con coeficientes racionales, ésta fue determinada por Borel. En el límite como g-> \infty es isomorfa a un álgebra polinómica con generadores en grados 4k+2. Véase su artículo
A. Borel, Stable real cohomology of arithmetic groups, Ann. Sci. 'Ecole Norm. Sup. (4) 7 (1974), 235-272 (1975).
No conozco muchos cálculos integrales. He calculado H1 de los subgrupos de congruencia de nivel L para L impar y g al menos 3 en mi artículo "The abelianization of the level L mapping class group", que está disponible en mi página web (haga clic en mi nombre para obtener un enlace). Esto también fue determinado independientemente por Perron (sin publicar) y M. Sato. El artículo de Sato es "The abelianization of the level 2 mapping class group", y está disponible en el arXiv. También calcula H_1 para L par.
Otro artículo con información sobre H^2 es mi artículo "El grupo de Picard del espacio de moduli de las curvas con estructuras de nivel", que también está disponible en mi página web.
Como observación, los dos trabajos míos mencionados anteriormente son realmente trabajos sobre el grupo de clases de mapeo y el espacio de moduli de las curvas, pero acabé demostrando resultados sobre PPAV's y Sp_{2g}( \Z ) a lo largo del camino
Matt
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Una medida finita $\mu$ en un espacio métrico completo separable tiene la propiedad de estrechez; es decir, para cualquier $\epsilon > 0$ hay algún subconjunto compacto $K$ para que $\mu(K^c) < \epsilon$ . Un espacio de Banach que es localmente compacto es necesariamente de dimensión finita. Por lo tanto, un subconjunto compacto es un subconjunto muy pequeño que debe tener un interior vacío.
