Isomorfismo y $\mathrm{id}$

Question

En una categoría tengo dos objetos $a$ y $b$ y un morfismo $m$ de $a$ a $b$ y una $n$ de $b$ a $a$ . ¿Es siempre un isomorfismo? ¿Por qué se insiste en que esto también tiene que ser cierto? $m \circ n = \mathrm{id}_b$ y $n \circ m = \mathrm{id}_a$ ?

Estoy buscando un ejemplo en el que la parte id no sea verdadera y por lo tanto $m$ y $n$ no son isomorfas.

Answer 1

El punto importante aquí, creo, es sobre Hom(a,a) y Hom(b,b). nm está garantizado para ser un elemento del primero y mn un elemento del segundo; para ser un isomorfismo, ambos mapas deben ser la identidad por definición. La definición de categoría requiere que se tenga al menos la identidad en ambos conjuntos de endomorfismo; si ninguno de los dos conjuntos tiene elementos no identitarios entonces se obtiene un isomorfismo, ya que las composiciones no tienen nada más que la identidad para serlo, pero esto no tiene por qué ser así en general.

Ejemplo de máximo juguete: tomemos la subcategoría completa de conjuntos dada por el conjunto de un elemento A y el conjunto de dos elementos B. Hom(A,A) es sólo la identidad, pero Hom(B,B) tiene cuatro elementos, dos de los cuales no son isomorfismos.

Answer 2

Si no tienes restricciones en m y n, entonces claramente no pueden ser isomorfismos en general. Por ejemplo, toma dos grupos cualesquiera G y H y deja que m: G --> H, n: H --> G sean los homomorfismos nulos.

Incluso si dices que n y m son monomorfismos, entonces sigue sin ser cierto en general que sean isomorfismos. Sin embargo, creo que es cierto si tu categoría es una cuyos objetos son conjuntos con estructura adicional. Véase esta pregunta: http://math.stackexchange.com/questions/309/if-a-is-a-subobject-of-b-and-b-a-subobject-of-a-are-they-isomorphic/327#327 .

Answer 3

Para que esto sea aún más claro, digamos que tenemos los objetos $a=\{x, y\}$ y $b=\{z\}$ . Definir $m\colon a\to b$ por $x\mapsto z$ , $y\mapsto z$ (el único morfismo posible aquí). Definir $n\colon b\to a$ por $z\mapsto x$ . Pero, por supuesto, $n\circ m$ no es igual a $\mathrm{id}_a$ ya que $(n\circ m)(y)=n(m(y))=n(z)=x$ , $(n\circ m)(x)=n(m(x))=n(z)=x$ , por lo que tenemos $n\circ m\colon a\to a$ es $x\mapsto x$ , $y\mapsto x$ .

Quizás si la cardinalidad de los objetos $a$ y $b$ son iguales entre sí, entonces un morfismo $m$ de $a$ a $b$ y un morfismo $n$ de $b$ a $a$ entonces ambos $m$ se califica como un isomorfismo y $n$ también es un isomorfismo.