$$\begin{align*} \sum F &= ma\\ \frac{dv}{dt} &= a\\ &= \frac{\sum F}{m}\\ \sum F &= mg - kv\\ \frac{dv}{dt} &= g - \frac{k}{m} v\end{align*}$$
Se trata de una ecuación diferencial cuya solución es
$$\begin{align*} v &= A + B \space exp\left(\frac{-k}{m} t\right)\\ \frac{dv}{dt} &= - B \cdot \frac{k}{m} \cdot \exp\left(\frac{-k}{m} t\right) \end{align*}$$
Coincidencia de términos y condiciones iniciales ( $v = 0$ en el momento $t = 0$ ) y se obtiene $$\begin{align*} &g - \frac{k}{m}A - \frac{k}{m} B\cdot \exp\left(\frac{-k}{m} t\right)\\ \implies&-B \frac{k}{m} \cdot \exp\left(\frac{-k}{m} t\right)\\ \implies& A = g \cdot \frac{m}{k} \space \text{and} \space B = -g \cdot \frac{m}{k}\\ \implies& v = \frac{mg}{k} \cdot \left(1 - \exp\left(\frac{-k}{m} t\right)\right)\end{align*}$$
Es una ecuación diferencial lineal ( $\frac{dv}{dt}$ es una función lineal de $v$ ); el $\sum F = -kv^2$ es una ecuación diferencial no lineal (no recuerdo de memoria cómo tratarla; puede que no tenga una solución de forma cerrada). Es un poco difícil resumir las técnicas en general, pero cualquier buen libro sobre ecuaciones diferenciales las cubriría.
