- Es el producto exterior de dos armónica de las formas en un diseño compacto de Riemann colector armónica? Estoy buscando un contra-ejemplo que los libros de texto dicen que existe.
- Me gustaría ver un contador de ejemplo que se encuentra en un complejo colector, Ricci plana (o Einstein) colector o de ambos, si es del todo posible.
- En general, estoy tratando de comprender la interacción entre la cuña de producto, estrella de Hodge y el Laplaciano en las formas y eigen-vectores, las referencias serán muy apreciadas.
Respuestas
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Es fácil construir ejemplos de superficies de Riemann de género >1. Tomar cualquier superficie como esta. Sea a y B dos armónico 1-formas, que no son proporcionales. A continuación, Un \wegde B es distinto de cero, pero se desvanece en algún momento, ya que ambos, a y B tienen ceros. Al mismo tiempo, un armónico 2 formulario en un Rieamann de la superficie es constante. Explicite los ejemplos de 1-formas en Rieamann superficies pueden ser obtenidos como elementos reales de holomorphic 1-formas.
Nota: por supuesto que el ejemplo anterior es complejo, y Einstein acaba de tomar el estándar de medición de la curvatura de -1. Si quieres un ejemplo en un Ricci plana colector debe tomar un 3d de la superficie. Es compleja y admite un Ricci plana métrica. Ahora, en su segunda cohomology ha dimesnion 22. Ahora debería ser posible encontrar dos anti-auto-dual de dos formas cuya cuña producto se desvanece en un punto en 3d, pero no es idéntica a cero. Esto es debido a que el dimesnion del espacio de auto formas dobles de 19 que es grande suficiente para obtener en un punto de fuga
Oded
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271275
Curiosamente, en (24) de hep-th/9603176 erróneamente afirmó que la cuña producto de la armónica de las formas es automáticamente armónico. Porque es falso que todavía no conoce la predicción de la existencia de esos medio dimensional $L^2$ armónica de las formas en que estos no compacta completa hyperkahler colectores.
PabloG
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9308
Genéricamente, el producto exterior de dos armónico de formas no será armónica. Es más difícil encontrar ejemplos de contra-ejemplos. Por ejemplo, en compacto Mentira grupos con un bi-invariante métrica o, más generalmente, en la de riemann simétrica espacios, armónico de formas son invariantes y la invariancia es preservado por la cuña de producto. En general, sin embargo, este no es el caso.
De acuerdo a Kotschick (ver, por ejemplo, este papel) colectores de admisión de una métrica con esta propiedad se llaman geométricamente formal y su topología está fuertemente restringida. Él tiene ejemplos, ya en la dimensión 4, de colectores, que no son geométricamente formal.
Simon Salamon
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546
He aquí un contraejemplo de la teoría de la nilmanifolds, que por su naturaleza no formal. Tomar un compacto cociente $H^3/\Gamma$ del grupo de Heisenberg. Se admite invariante 1-formas $e^1,e^2,e^3$$de^1=0=de^2$$de^3=e^1\wedge e^2$. A continuación, $e^1,e^2$ son armónicas, sino $e^1\wedge e^2$ es exacta, por lo que no armónico. Usted puede tomar un producto con $S^1$ a un complejo (no Kähler) de la superficie en la que lo mismo funciona, pero no tengo miedo Ricci plana o Einstein.
manveru
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146
El uso de homológica teoría de la perturbación, se puede reparar este defecto. Más precisamente, en el espacio de la armónica de las formas, hay un $A_\infty$ estructura no diferencial cuya 2-ary operación (multiplicación) es construido por acuñamiento dos armónico de formas de proyectar el resultado de vuelta al espacio armónico de formas. Consulte "Fuerte homotopy álgebras de Kahler colectores", por S. A. Merkulov (Int. De matemáticas. Res. Lett. no. 3 153--164) para los detalles de la construcción.
EDIT: También, si el colector es compacto, entonces la inclusión natural de la armónica de las formas en formas arbitrarias se convierte en una equivalencia de $A_\infty$ álgebras, donde el espacio de todas las formas tiene su habitual dg-álgebra de la estructura.
