Usos de la teoría de la homotopía en el mundo real

Question

He tratado la teoría de la homotopía en un curso reciente de matemáticas. Sin embargo, nunca se me presentó ninguna razón de por qué (o incluso si) es útil.

¿Existen buenos ejemplos de su uso fuera del ámbito académico?

Answer 1

Para un tratamiento mucho más accesible, y la historia del resultado, véase Andrejic (2006) "Sobre los poderes de Fibonacci"

Answer 2

La intercambiabilidad no es una característica esencial de un modelo jerárquico (al menos no a nivel de observación). Es básicamente un análogo bayesiano de "independiente e idénticamente distribuido" de la literatura estándar. Es simplemente una forma de describir lo que se sabe sobre la situación en cuestión. Esto es, que "barajar" no altera su problema. Una de las formas en que me gusta pensar en esto es considerar el caso en el que te dan $x_{j}=5$ pero no se le dijo el valor de $j$ . Si se aprende que $x_{j}=5$ le llevaría a sospechar de determinados valores de $j$ más que otros, entonces la secuencia no es intercambiable. Si no le dice nada sobre $j$ , entonces la secuencia es intercambiable. Tenga en cuenta que la exhabilidad está "en la información" y no "en la realidad" - depende de lo que usted sepa.

Aunque la intercambiabilidad no es esencial en términos de las variables observadas, probablemente sería bastante difícil ajustar cualquier modelo sin alguna noción de intercambiabilidad, porque sin intercambiabilidad básicamente no tienes justificación para agrupar las observaciones. Así que creo que sus inferencias serán mucho más débiles si no tiene intercambiabilidad en alguna parte del modelo. Por ejemplo, consideremos $x_{i}\sim N(\mu_{i},\sigma_{i})$ para $i=1,\dots,N$ . Si $x_{i}$ son completamente intercambiables entonces esto significa $\mu_{i}=\mu$ y $\sigma_{i}=\sigma$ . Si $x_{i}$ son condicionalmente intercambiables dado $\mu_{i}$ entonces esto significa $\sigma_{i}=\sigma$ . Si $x_{i}$ son condicionalmente intercambiables dado $\sigma_{i}$ entonces esto significa $\mu_{i}=\mu$ . Pero nótese que en cualquiera de estos dos casos "condicionalmente intercambiables", la calidad de la inferencia se reduce en comparación con el primero, porque hay un extra $N$ parámetros que se introducen en el problema. Si no tenemos intercambiabilidad, entonces básicamente tenemos $N$ problemas no relacionados.

Básicamente la intercambiabilidad significa que podemos hacer la inferencia $x_{i}\to \text{parameters}\to x_{j}$ para cualquier $i$ y $j$ que son parcialmente intercambiables

Answer 3

La proporción 1:10 de la prueba:el entrenamiento es popular porque parece redonda, 1:9 es popular debido a la CV de 10 veces, 1:2 es popular porque también es redonda y reensambla el bootstrap. A veces se obtiene una prueba a partir de algunos criterios específicos de los datos, por ejemplo el último año para la prueba, los años anteriores para el entrenamiento.

La regla general es la siguiente: el tren debe ser lo suficientemente grande como para que la precisión no disminuya significativamente, y la prueba debe ser lo suficientemente grande como para silenciar las fluctuaciones aleatorias.

Aun así, prefiero el CV, ya que te da también una distribución del error.

Answer 4

La teoría de la homotopía es útil en la mecánica cuántica cuando (por ejemplo) se habla de colectores de hamiltonianos. Se puede tener una colección de hamiltonianos que dependen continuamente de algunos parámetros $p_1, p_2, \ldots, p_n$ tal que la representación matricial del hamiltoniano es periódica en algún subconjunto de los parámetros $p_{r_1}, p_{r_2}, \ldots, p_{r_m}$ . A partir de esto, se puede calcular el grupo fundamental del colector de hamiltonianos, lo que tiene algunas ramificaciones físicas.

Un ejemplo concreto de esto sería el Hamiltoniano que describe el efecto Hall cuántico. El efecto Hall cuántico es el fenómeno por el cual la resistencia en un sustrato bidimensional expuesto a un campo eléctrico perpendicular a temperatura cercana a cero se cuantiza. En la física de la materia condensada existe una noción llamada quasimomentum que puede considerarse relacionada con el momento, pero es un poco diferente. Necesitamos algo diferente a la definición clásica de momento porque la definición clásica depende de la invariancia de traslación, y en un cristal sólo hay invariancia de traslación discreta. En el efecto Hall cuántico, tenemos dos cuasimomentos: $k_x, and k_y$ correspondiente al cuasimomento en el $x$ y $y$ direcciones. El hamiltoniano es periódico en estos dos parámetros, lo que conduce a un grupo fundamental del colector de hamiltonianos de $\mathbb{Z}^2$ es decir, el grupo fundamental del toro $T^2$ .

Hay mucho más en el tema que esto. Este artículo de Avron, Seiler y Simon tiene más detalles:

Homotopía y cuantificación en la física de la materia condensada

Answer 5

En este documento http://www.ncbi.nlm.nih.gov/pubmed/18485361 la gente comenzó a clasificar las estructuras de ARN buscando algún tipo de género topológico.