Devolución de un préstamo con interés compuesto

Question

Supongamos que tengo un préstamo de M dólares. Al final de cada año, se me cobran intereses al tipo R y hago una devolución de P. El préstamo se devuelve al cabo de n años.

1. ¿Cuánto tiempo (n) se tarda en devolver el préstamo si me dan las otras variables?
2. ¿A cuánto ascienden los reembolsos de P si me dan la otra variable?
3. Supongamos que los pagos se realizan a principios de año. ¿Cómo cambiaría esto el problema?

Answer 1

Le sugiero que investigue amortización calculadoras.

Answer 2

Teoría básica

La forma de resolver este problema es calcular cuánto reduce cada pago su deuda después de haber estado devolviendo su préstamo durante $n$ años. Dejemos que $r=1+R/100$ Esto convierte el tipo de interés de un porcentaje a un valor por el que puede multiplicar su deuda para calcular cuánto debe después de añadir los intereses de un período.

Si hago un pago de $P$ al final de la $k$ año, entonces evitamos pagar los intereses de este dinero $n-k$ veces y así reducimos nuestra deuda en $Pr^{n-k}$ . Sumamos los valores futuros de todos nuestros pagos:

$\sum\limits_{k=1}^n Pr^{n-k}$

Si invertimos esto, equivale a:

$\sum\limits_{k=0}^{n-1} Pr^k$

Este es un serie geométrica que se puede resolver mediante la fórmula $\frac{ar^{n-1}}{r-1}$ donde $a$ es el primer término, $r$ es el factor y $n$ es el número de términos que se suman. A continuación, intentamos equiparar esto con la deuda que se tiene después de $n$ años, que es $Mr^n$ .

Ahora comparamos las dos ecuaciones:

$\frac{Pr^{n-1}}{r-1} = Mr^n$

Calculando $n$

Agrupamos los $r^n$ términos:

$\frac{P}{r-1} = r^n\frac{M-P}{r-1}$

$r^n = \frac{P}{M(r-1)-P}$

Así que sólo tomamos el $n$ de la derecha.

Cálculo de los reembolsos

Dado el principal ( $M$ ) y el tipo de interés ( $r$ ), ¿cuál será mi pago por plazo ( $P$ ) se acabe $n$ ¿términos de devengo?

$P=\frac{Mr^n(r-1)}{r^{n-1}}$

Pagos realizados a principios de año

En este caso, los valores futuros de nuestro pago de intereses se convierten simplemente en:

$\sum\limits_{k=1}^n Pr^k$

Procedemos como antes.

Notas

También podríamos resolver este problema utilizando el valor presente en lugar del valor futuro.