Definimos las álgebras de Lie de forma abstracta como álgebras cuya multiplicación satisface la anticomutatividad y la identidad de Jacobi. Un caso particular de esto es un álgebra asociativa equipada con el soporte del conmutador: $[a,b]=ab-ba$ . Sin embargo, la notación sugiere que este soporte es en el que pensamos. Además, el adjunto derecho del functor que acabo de mencionar crea el álgebra envolvente universal cotizando el álgebra tensorial por la versión tensorial de este soporte; pero siempre podríamos empezar con algún álgebra de Lie arbitraria con algún otro soporte satisfactorio y aplicar este functor.
Mi pregunta es
"¿Por qué el soporte del conmutador?"
¿Es puramente desde un punto de vista histórico (y si es así podría explicar por qué)? ¿O hay algún resultado que diga que cualquier álgebra de Lie es esencialmente una con el soporte del conmutador (tal vez algo sobre la fidelidad del functor de arriba)?
Conozco (me lo ha dicho un colega) una prueba de que la identidad de Jacobi es también un artefacto del adjunto derecho del álgebra envolvente universal. Puede demostrar que es la identidad necesaria para que el álgebra envolvente universal sea asociativa (¡si alguien lo conoce en la literatura también agradecería el enlace a esto!)
Espero que esta pregunta sea clara, si no, puedo revisarla e intentar concretarla un poco más.
