Métodos numéricos sencillos para calcular los dígitos de $\pi$

Question

¿Existe algún método sencillo para calcular los dígitos de $\pi$ ? Los ordenadores son capaces de calcular miles de millones de dígitos, por lo que debe haber un algoritmo para calcularlos. ¿Existe un algoritmo sencillo que se pueda calcular a mano para calcular los primeros dígitos?

Answer 1

Si puede utilizar R, intente ggplot2 .

Answer 2

Algunos de los algoritmos más fáciles de utilizar son el espiga algoritmos. Permiten saltar rápidamente a la enésima cifra sin calcular antes las n-1 cifras. El problema es que sólo funcionan en binario. Aquí son algunas implementaciones en Python. Puedes ver lo cortas que son.

Answer 3

También existe la opción de aproximar $\pi$ utilizando Integración de Monte Carlo .

La idea es la siguiente: Si estamos de acuerdo en que el área de un círculo es $\pi r^2$ para simplificar, construimos un círculo de área $\pi$ al establecer $r=1$ . Colocando este círculo totalmente dentro de otra región de área conocida, preferiblemente inscribiéndolo en un cuadrado de lado 2, entonces tenemos una relación entre el área del círculo y el área total del cuadrado (en este ejemplo esa relación es $\frac{\pi}{4}$ ).

El método de Montecarlo funciona mediante la aproximación de áreas basada en la relación entre el número de puntos de muestra que se encuentran dentro de nuestra región de interés y el número total de puntos de muestra que elegimos para probar. Si extendemos una secuencia uniformemente distribuida de $N$ puntos sobre nuestro cuadrado de área 4, y llamamos al número de puntos que caen dentro del círculo inscrito $p$ entonces podemos decir $\frac{\pi}{4} = \frac{p}{N}$ .

Mi implementación de esto en Matlab requiere decenas de miles de puntos de prueba para lograr 3,14159xxxx, pero no lo he probado para secuencias de baja discrepancia, o cualquier otro conjunto de puntos distribuidos uniformemente.

Answer 4

Consulta la página de la wiki sobre aproximaciones a pi, http://en.wikipedia.org/wiki/Numerical_approximations_of_%CF%80#20th_century

Me encanta el método de Ramanujan, que recuerdo que converge muy rápidamente.

Answer 5

Ya que la AGM no ha sido mencionada todavía (aparte de mi recomendación de leer el libro de Borwein y Borwein), he aquí cómo usar la AGM para calcular $\pi$ :

a←(1+1/√(2))/2
c←1/(8a)
s←a^2
f←1
repeat
a←(a+√((a-c)(a+c)))/2
c←(c^2)/(4a)
f←2f
s←s-fc^2
until |c| is small enough
(2a^2)/(2s-1)

que aprovecha la relación de Legendre.