¿Son las "pruebas por contradicción" más débiles que otras pruebas?

Question

Recuerdo haber escuchado varias veces el consejo de que, debemos evitar el uso de una prueba por contradicción, si es sencillo convertirla en una prueba directa o en una prueba por contrapositiva. ¿Podría explicar la razón? ¿Piensan los lógicos que las pruebas por contradicción son algo más débiles que las pruebas directas?

Edición: Para aclarar la pregunta. Me pregunto si hay alguna razón para que uno siga buscando una demostración directa de algún teorema, aunque ya se haya encontrado una demostración por contradicción. No me refiero a mejoras en términos de elegancia o exposición, me refiero a razones lógicas. Por ejemplo, en el caso del axioma de elección, es evidente que hay razones para buscar una prueba que no utilice el axioma de elección. ¿Existe un caso similar para las pruebas por contradicción?

Answer 1

La mayoría de los lógicos consideran que las pruebas por contradicción son igualmente válidas, sin embargo algunos constructivistas/intuicionistas y no los consideran válidos.

( Editar: Esto no es estrictamente cierto, como se explica en los comentarios. Sólo algunas pruebas por contradicción son problemáticas desde el punto de vista constructivista, a saber, las que demuestran "A" asumiendo "no A" y obteniendo una contradicción. En mi experiencia, ésta suele ser exactamente la situación que la gente tiene en mente cuando dice "prueba por contradicción").

Una posible razón por la que el punto de vista constructivista tiene cierto sentido es que afirmaciones como la hipótesis del continuo son independientes de los axiomas, por lo que es un poco extraño afirmar que es verdadera o falsa, en cierto sentido no es ninguna.

Sin embargo, el constructivismo es una posición relativamente poco común entre los matemáticos/lógicos. Sin embargo, no se considera totalmente descabellado o fuera de lugar. Afortunadamente, en la práctica, la mayoría de las pruebas por contradicción pueden traducirse a términos constructivistas y los constructivistas actuales son bastante hábiles para hacerlo. Así que el resto de nosotros no nos preocupamos por esta cuestión, pensando que es un problema de los constructivistas.

Answer 2

Para demostrar A, vamos a suponer que no es A.

[Inserte un argumento de 10 páginas aquí].

¿Cuáles de las afirmaciones demostradas en las 10 páginas anteriores son falsas porque se dedujeron a partir de la suposición (ahora demostrada como falsa) de que no A? ¿Cuáles son verdaderas pero no pueden considerarse válidamente demostradas porque las pruebas se basaron en la falsa suposición de que no A? ¿Y cuáles fueron válidamente demostradas porque sus pruebas no se basaban en esa suposición? Puede ser difícil saberlo. Y si vieras una afirmación demostrada por el camino, podrías pensar que se sabe que es cierta.

De este modo, una prueba por contradicción puede ser, en el mejor de los casos, confusa.

Answer 3

Como habrás notado, no es automáticamente cierto que una partícula y su antipartícula se aniquilen cuando se acercan. De hecho, no hay ninguna interacción entre partículas que se produzca con seguridad. La mecánica cuántica (y a un nivel superior, la teoría cuántica de campos) dice que todas estas interacciones se producen con ciertas probabilidades. Así, por ejemplo, cuando una partícula y su antipartícula se acercan, sólo hay una probabilidad de que interactúen en un tiempo determinado.

Sin embargo, cuanto más tiempo permanezcan juntas las partículas, mayor será la probabilidad de que interactúen y se aniquilen entre sí. Esto es lo que explica el tiempo de vida de 142 ns del positronio, tal y como se indica en el artículo de la Wikipedia: la probabilidad de aniquilación aumenta con el tiempo de tal manera que el media El tiempo de vida de un "átomo" de positronio es de 142 ns.

Como ha dicho Cedric, mientras el positrón y el electrón no se aniquilen entre sí (y recuerda que sólo hay una posibilidad limitada de que eso ocurra en un momento dado), pueden interactuar de forma muy parecida a cualquier otra partícula cargada, como el protón y el electrón. Estar unidos por la interacción electromagnética, como en un átomo de hidrógeno o un "átomo" de positronio, es sólo un ejemplo.

Answer 4

Casi siempre la prueba directa es más fácil de entender, más corta y más útil.

Answer 5

Utilice el Herramienta de amortiguación de la caja de herramientas de análisis e introduzca un valor negativo para la distancia del buffer. Seleccione OUTSIDE_ONLY para el tipo de lado y luego disolver en los atributos pertinentes.

Requiere Avanzado licencia.

Una vez que existen los buffers atribuidos podemos utilizar Consultas de definición para mostrar sólo ciertos FN's y/o mostrar cada uno con un símbolo separado todos de una misma clase de característica.