Aditivo funcional de la desigualdad

Question

La función de $f:R_+\to R_+$ es continuamente diferenciable y el aumento. También, $f(0)=0$$f(\infty)=\infty$. La continuidad y la la diferenciabilidad de órdenes superiores puede ser asumida, si es necesario. El la proposición en la mano es la siguiente:

Si para todos los enteros $t>0$ y para todos $x> 0$, $f((t+1)x)<f(tx)+f(x)$, a continuación, para todos enteros $m,n>0$, $f(mx)+f(nx)\geq f(mx+nx)$.

¿Existe una prueba o un contraejemplo?

Answer 1

El siguiente es un contraejemplo:

Podemos escribir

$$f(x) = \int_0^xf'(\xi)d\xi$$

Si escribimos $g(x)$ $f'(x)$ podemos reformular el problema en términos de $g$: $g$ no es negativo en todas partes, no puede ir a $0$ demasiado rápido (por lo que su integral tiende a $\infty$), y

$$\int_{kx}^{(k+1)x}g(\xi)d\xi < \int_{0}^{x}g(\xi)d\xi$$

La pregunta es si, pues, también para todos los enteros $m,n > 0$ debemos tener que

$$\int_{mx}^{(m+n)x}g(\xi)d\xi < \int_{0}^{nx}g(\xi)d\xi$$

Para construir el contraejemplo, considerar en primer lugar la función de $G$ que, por algún pequeño número $\delta>0$, va linealmente de$10+\delta$$10$$0$$1$$0$$2$, entonces constantemente $6$ hasta $5/2$, $0$ hasta $3$, $6$ hasta el $5$ y a partir de ahí algunos pequeños el valor de la constante $\varepsilon$ a fin de garantizar su integral tiende a infinito.

Para facilitar la notación, escribir

$$I[a,b] = \int_a^bG(\xi)d\xi$$

(de modo que $f(x) = I[0,x]$).

Primero tenemos que demostrar que para todos los $x>0$ y todos los $k$

$$I[0,x] > I[kx, (k+1)x]$$

Para $x \le 1$ que es obviamente cierto, y de hecho hasta el 5/3 que el valor promedio de $G(x)$ $[0,x]$ es de más de 6, que es en ningún intervalo de partida después de 1, por lo que para $x\le 5/3$ está bien.

El próximo considere el caso de que $x = 2 - t$$0 < t < 1/3$. Entonces $I[0,x] = 10 + \delta/2$, $I[x,2x] < 9$, $I[2x,3x] = 6(1 + 2t) \le 10$ y para otros $I[kx, (k+1)x]$ somos buenos.

Usted puede tratar el caso de $x = 2 + t$ $0 < t < 1/2$ asimismo, y para mayor $x$ es fácil ver que va a trabajar si usted hace $\varepsilon$ lo suficientemente pequeño (o hacer $G$ cero por un tiempo antes de lo que es una constante distinto de cero).

Sin embargo, tenga en cuenta que tenemos

$$I[0,2] < I[3,5]$$

así que

$$f(x) = \int_0^xG(\xi)d\xi$$

casi satisface las condiciones, pero es un contraejemplo para $x = 1$, $m = 3$, $n = 2$.

Digo casi, porque la integral de $G$ no es continuamente diferenciable. Sin embargo, hemos suficiente libertad en las desigualdades para suavizar $G$ a una función $g$ sin violar ellos, y si queremos hacer $f$ estrictamente creciente podríamos añadir una constante a $g$.

EDITAR

Para hacer el alisado explícito podría explícitamente sustituir los saltos por suficientemente pendientes, pero tal vez el siguiente es más elegante y le da un $\mathcal C^\infty$la función de:

Considere la posibilidad de una secuencia $(\zeta_n)$ de positivos $\mathcal C^\infty$-funciones con $\int_{-\infty}^\infty\zeta_n(x)dx = 1$ que convergen a una masa de Dirac $\delta_0$ centrada en $0$ en el sentido de las distribuciones. Convolving con $\delta_0$ es igual a no hacer nada, así que la secuencia de las circunvoluciones $g_n := G\ast\zeta_n$, que se $\mathcal C^\infty$-funciones, converge a $G$. Como un ejemplo, usted podría tomar $\zeta_n(x) = {1\over n\sqrt{2\pi}}e^{-{x^2\over 2n^2}}$.

Básicamente, esto significa que todas las integrales de la $g_n$ convergen a la integral de la $G$, y las desigualdades se mantenga por $g_n$ ya lo suficientemente grande $n$.

Primera nota de que $g_n$ es la disminución en el $[0,1]$, por lo que la desigualdad aún mantiene $x\le 1$. Para $x \le 5/3$ ahora tenemos que arreglar $\delta$ primero, porque el $n$ depende de ella (por muy pequeño $\delta$ usted puede tener que tomar un gran $n$), pero podemos hacer lo mismo que antes.

Del mismo modo para los otros las desigualdades, que son muy estrictos. Desde fundamentalmente, hay sólo un número finito de ellos, de las integrales sobre los subconjuntos de un conjunto acotado, es claro que el requerido $n$ puede ser elegido de manera uniforme.

Por último, vamos a $g := g_n$ esto $n$. Entonces

$$f(x) = \int_0^xg(\xi)d\xi$$

es una $\mathcal C^\infty$-función de la satisfacción de todas las propiedades, pero no la conclusión, es decir, es un contraejemplo.