Si$\mathcal{A} \equiv \mathcal{B}$ y$\mathcal{A} \not \cong \mathcal{B}$, ¿es posible que$\mathcal{A}$ y$\mathcal{B}$ sean bi-incrustables?

Question

¿Hay estructuras$\mathcal{A}$ y$\mathcal{B}$ tales que$\mathcal{A}$ y$\mathcal{B}$ son equivalentes elementales, no isomorfos sino bi-incrustables?

Answer 1

Sea$\mathcal{A}=(\mathbb{R},<)$ y$\mathcal{B}=(\mathbb{R}\setminus\{0\},<)$. Son elementalmente equivalentes siendo ambos órdenes lineales densos sin puntos finales, claramente cada uno se puede incrustar en el otro, pero$\mathcal{A}$ es un orden completo mientras que$\mathcal{B}$ no lo es.

Answer 2

Tome los grupos gratuitos$F_n$ y$F_m$ donde$m\neq n$ y ambos son mayores que 1. Este papel: http://www.math.mcgill.ca/olga/p3new.PDF prueba que ambos tienen la misma teoría elemental. Los grupos no son isomorfos, pero cada uno puede integrarse en el otro.