Si $X,Y,Z$ son iid unif[0,1], entonces $(XY)^Z \sim \text{unif}[0,1]$ .

Question

He aquí un hecho alucinante (al menos para mí) que quizá no sea tan conocido:

Si $X, Y, Z$ están distribuidos uniformemente en $[0,1]$ entonces $W = (XY)^Z$ también se distribuye uniformemente en $[0,1]$ .

Si no me crees, puedes comprobarlo calculando una integral adecuada.

Mis preguntas son:

(1) ¿Existe una buena razón natural para ello? Parece demasiado bueno para ser sólo una coincidencia. Ten en cuenta que no estoy pidiendo una prueba por cálculo. En su lugar, estoy buscando una razón intuitiva simple.

(2) ¿Hay alguna historia detrás de esta observación?

Answer 1

Intuición basada en 3 hechos:

1. Si $X\sim U[0;1]$ entonces $-\log X \sim Exp(1)$ .

2. En el proceso de Poisson con intensidad $1$ el tiempo entre eventos es $Exp(1)$ distribuido.

3. En el proceso de Poisson la distribución condicional del tiempo del primer evento dado el tiempo del segundo evento es $t$ es uniforme en $[0;t]$ .

El objetivo es demostrar que $(XY)^Z \sim U[0;1]$ o $- Z \log (XY) \sim Exp(1)$ . Pero $- \log (XY)=-\log X - \log Y$ es el tiempo del segundo evento en el proceso de Poisson. Por tanto, si multiplicamos $-\log X - \log Y$ por uniforme $Z$ obtenemos la distribución del primer evento, que es $Exp(1)$ .

Answer 2

Mi intuición es la siguiente. La variable $V=XY$ tiene una función de distribución acumulativa $\mathbb{P}(XY\leq t)\equiv F_V(t)=t(1-\ln t)$ para $t\in(0,1)$ y $F_V(t)\geq t$ para todos $t\in(0,1)$ . Por lo tanto, la distribución de $V$  está dominada estocásticamente en primer orden por la distribución uniforme. Intuitivamente, $V$ adquiere valores sistemáticamente inferiores a los de $X$ o $Y$ Lo que no es de extrañar, dada la construcción de $V$ . Para "restaurar" la uniformidad de $XY$ se necesita realizar una especie de transformación creciente sobre ella. Tal y como has afirmado, resulta que una transformación que consigue este objetivo es exactamente elevar $XY$ al poder $Z$ , donde $Z$  también se distribuye uniformemente (nótese que se trata de una transformación creciente, ya que tanto $XY\in(0,1)$ y $Z\in(0,1)$ con probabilidad uno).