Se puede constatar fácilmente que la siguiente serie onverges/diverge?
$$\sum_{k=1}^{\infty} \frac{\tan(k)}{k}$$
Agradecería tu apoyo en este problema. Estoy buscando algo de fácil prueba aquí. Gracias.
Respuestas
¿Demasiados anuncios?
Una prueba de que la secuencia de $\frac{\tan(n)}{n}$ no tiene un límite de $n\to \infty$ es dada en este documento. Esto, por supuesto, implica que la serie no es convergente. La prueba, basado en otro papel por Rosenholtz, utiliza la continuación de la fracción de $\pi/2$, y que, en esencia, es muestra de que es posible encontrar una larga tal que $\tan(n_k)$ es "lo suficientemente grande", tomando los numeradores de la truncada continuó fracción ("convergents").
psychotik
Puntos
171
Deje que $\mu$ ser la irracionalidad de la medida de $\pi^{-1}$. Entonces para $s < \mu$ dado, tenemos secuencias $(p_n)$ y $(q_n)$ de números enteros tales que $0 < q_n \uparrow \infty$ y
$$\left| \frac{1}{\pi} - \frac{2p_n + 1}{2q_n} \right| \leq \frac{1}{q_n^{s}}.$$
Reordenando, tenemos
$$ \left| \left( q_n - \frac{\pi}{2} \right) - p_n \pi \right| \leq \frac{\pi}{q_n^{m-1}}.$$
Esto demuestra que
$$ \left|\tan q_n\right| = \left| \tan \left( \frac{\pi}{2} + \left( q_n - \frac{\pi}{2} \right) - p_n \pi \right) \right| \gg \frac{1}{\left| \left( q_n - \frac{\pi}{2} \right) - p_n \pi \right|} \gg q_n^{m-1}, $$
por lo tanto
$$ \left| \frac{\tan q_n}{q_n} \right| \geq C q_n^{s-2}.$$
Por lo tanto, la serie diverge si $\mu > 2$. Pero hasta donde yo sé, no se conoce ningún resultado para límites inferiores de $\mu$, y, de hecho, no podemos excluir la posibilidad de que $\mu = 2$.
p.s. Similar consideración muestra que, para la $r > s > \mu$ tenemos
$$ \left| \frac{\bronceado k}{k^{r}} \right| \leq \frac{C}{k^{i+1-s}}.$$
Por lo tanto, si $r > \mu$, entonces
$$ \sum_{k=1}^{\infty} \frac{\bronceado k}{k^r} $$
converge absolutamente!
Pedro Tamaroff
Puntos
73748
Un simle ejemplo sería el término $\tan 121 / 121$. Tomando nota de que $\dfrac{\pi}{2}+2 \cdot 19 \cdot \pi \aprox 120,95131$ muestra por qué el término es mucho más grande en relación a los otros. Aquí se puede ver un diagrama y lugar de los pícaros. Son estas las primeras 20k términos.
Aquí una forma mucho más interesante, de la primera 50k términos. Nota la forma en que se alinean.
Básicamente, lo que nos preocupa es cómo cerrar un número entero puede llegar a $$\dfrac{\pi}{2}+2 k \pi$$
y es que a pesar de responder a esta pregunta.
