Una pregunta sobre la desaparición de la cohomología motívica en un giro Tate negativo

Question

Sea$DM_{\text{gm}}$ la categoría de motivos geométricos de Voevodsky. Sea$p,q\in \mathbb{Z}$ números enteros con$p<0$.

Es cierto que PS donde$$\text{Hom}_{DM_{\text{gm}}}(M_{\text{gm}}(X),\mathbb{Z}(p)[q])=0,$ es el motivo de un esquema suave$M(X)$ sobre un campo$X$ y$k$ es el motivo de Tate?

Answer 1

Aquí hay una manera fácil de ver esto (que es más o menos una elaboración de la respuesta de Mikhail):

Suponga$i > 0$ y$n\in \mathbb Z$. Tenemos el isomorfismo de Thom $$ H ^ n (X, \ mathbb Z (-i)) \ cong H ^ {n + 2i} _X (\ mathbb A ^ i_X, \ mathbb Z (0)). $$ El peso$0$ cohomología motívica es solo cohomología de Zariski, así que $$ H ^ n (X, \ mathbb Z (0)) = \begin{cases} \mathbb Z^{\pi_0(X)} & \text{if }n=0,\\ 0 & \text{otherwise.}\end {casos} $$ Ahora, la larga secuencia exacta para la cohomología con soporte muestra que$H^*_X(\mathbb A^i_X,\mathbb Z(0))=0$.

Answer 2

Esbozaré una prueba.

Basta con demostrar que solo hay cero morfismos desde$M_{\text{gm}}(X)(1)$ a$\mathbb{Z}[q]$ para cualquier$X$ y$q\in \mathbb{Z}$ suave. La última afirmación se sigue fácilmente del hecho de que$\mathbb{Z}$ es un haz biracional (con transferencias); ver el Lema 2.3.2 (b) de "Motivos Biracionales, II: Motivos Biracionales Triangulados" por Bruno Kahn y Ramdorai Sujatha.