soplando curvas hacia abajo

Question

Si exploto $\mathbb{P}^2$ en $2$ puntos que obtengo $3$ divisores excepcionales - dos son disjuntos y uno interseca a ambos. ¿Qué objeto obtengo si soplo esta curva de intersección? Es una superficie mínima con número de Picard $2$ y no $(-1)$ -Curvas, ¿qué es eso? $\mathbb{P}^1\times\mathbb{P}^1$ ?

Answer 1

Hasta los automorfismos, el mapa $\mathbb{P}^2\to \mathbb{P}^1\times \mathbb{P}^1$ viene dada, de hecho, por $(x:y:z)\mapsto ((x:y)(x:z))$ se ve fácilmente que explota $(0:0:1)$ y $(0:1:0)$ y que contrae la línea de ecuación $x=0$ en el punto $((0:1),(0:1))$ . La inversa es $((a:b),(c:d))\to (ac:bc:ad)$ y se revienta $((0:1),(0:1))$ y contrae las dos líneas $a=0$ y $c=0$ (que pasa por el punto $((0:1),(0:1))$ ) en $(0:0:1)$ y $(0:1:0)$ .

Otro comentario gracioso es que si tomas la esfera real $S$ de dimensión $2$ y tomar la proyección estereográfica, da un mapa birracional $S\to \mathbb{R}^2$ que no está definido en el polo norte (el punto de la proyección). Ver $S$ en $\mathbb{P}^3$ como una cuádrica suave y poniendo $\mathbb{R}^2$ en el plano proyectivo, obtenemos un mapa biracional $S\to \mathbb{P}^2$ que hace volar el punto $q$ (polo norte) y contraer las dos líneas imaginarias siendo la intersección de la cuádrica con el plano tangente en $q$ .

Sobre los reales, $S$ no es isomorfo a $\mathbb{P}^1\times \mathbb{P}^1$ (mira la topología de la parte real) pero ampliando a $\mathbb{C}$ es, y la proyección estereográfica es exactamente la inversa del mapa que querías (hasta el cambio de coordenadas).