soplando curvas hacia abajo

Question

Si exploto $\mathbb{P}^2$ en $2$ puntos que obtengo $3$ divisores excepcionales - dos son disjuntos y uno interseca a ambos. ¿Qué objeto obtengo si soplo esta curva de intersección? Es una superficie mínima con número de Picard $2$ y no $(-1)$ -Curvas, ¿qué es eso? $\mathbb{P}^1\times\mathbb{P}^1$ ?

Answer 1

_{(fuente: <a href="https://folk.uio.no/johnco/blowupP1P1.jpg" rel="nofollow noreferrer">folk.uio.no </a>)}

$\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,$

El blow-up de una variedad tórica en un punto invariante del toro induce una llamada "subdivisión en estrella" del abanico definidor (véase el libro de Fulton para más detalles) y que en su caso los dos abanicos resultantes coinciden. Los rayos unidimensionales añadidos (mostrados en rojo arriba) corresponden a los divisores excepcionales del abanico.

Answer 2

Una bonita forma geométrica de ver esto es la siguiente.

Tome una cuádrica suave $Q \cong \mathbb{P}^1 \times \mathbb{P}^1 \subset \mathbb{P}^3$ un punto $p \in Q$ y considerar la proyección

$\pi_p \colon X \dashrightarrow \Pi$

donde $\Pi \cong \mathbb{P}^2$ es un plano general.

El mapa $\pi_p$ es birracional y contrae las dos líneas $\ell_1, \ell_2 \subset Q$ de paso $p$ . Por lo tanto, el lugar de indeterminación de $\pi$ consiste en el punto $p$ solo, mientras que el lugar de indeterminación de $\pi^{-1} \colon \Pi \dashrightarrow Q$ consiste en los dos puntos

$q_1 := \ell_1 \cap \Pi, \quad q_2:= \ell_2 \cap \Pi$ .

Esto demuestra que el reventón $\textrm{Bl}_pQ$ de $Q$ en $p$ es isomorfo a la ampliación de $\Pi$ en $q_1$ y $q_2$ .

Además, las direcciones en $T_pQ$ es decir, los puntos del divisor excepcional $E \subset \textrm{Bl}_pQ$ están en correspondencia natural con los puntos de la recta $\ell_3 \subset \Pi$ unirse a $q_1$ y $q_2$ .

Por lo tanto, $Q$ puede obtenerse haciendo estallar el plano $\Pi$ en los dos puntos $q_1$ y $q_2$ y luego soplar la transformación estricta de la línea $\ell_3$ uniéndose a ellos.

Answer 3

He aquí otra forma de verlo; es una variante más explícita de la respuesta de Sandor: Si observas la familia de (transformaciones propias de) las rectas que pasan por cada uno de los dos puntos que has volado, puedes ver directamente que obtienes dos reglas, los miembros de una se cruzan transversalmente con los miembros de la otra en exactamente un punto. Esto te permitirá construir un isomorfismo explícito con $\mathbb P^1\times \mathbb P^1$ .

Answer 4

Permítanme dar una respuesta algo menos directa que la de Francesco, que podría arrojar algo de luz también.

Sobre un algebraico campo cerrado, la clase de superficies racionales mínimas consiste en $\mathbb{P}^2$ junto con las superficies regladas racionales $\mathbb{F}_n = \mathbb{P}(\mathcal{O}\oplus \mathcal{O}(n))$ , $n=0,1,2\ldots$ . (Las referencias estándar, al menos sobre $\mathbb{C}$ son Barth-Peters-Van de Ven, Beauville,...)

Las superficies regladas son exactamente las superficies racionales con número de Picard $2$ . Todos ellos, a excepción de $\mathbb{F}_0= \mathbb{P}^1\times \mathbb{P}^1$ posee curvas con intersección propia negativa. Y eso debería ser suficiente para determinar su superficie.

En general, existe un procedimiento llamado transformación elemental, para pasar de una superficie reglada a otra adyacente. Consiste en volar una vez hacia arriba, y luego hacia abajo en una "dirección diferente". Tu ejemplo, es realmente una transformación elemental de $\mathbb{F}_1$ (que es $\mathbb{P}^2$ explotado una vez) a $\mathbb{F}_0$ .

Answer 5

Esta es otra forma de ver esto:

Volar un punto en $\mathbb P^2$ la convierte en una superficie racionalmente gobernada que mapea a la curva excepcional en la que las fibras son las transformaciones propias de las líneas que pasan por el punto volado.

Al soplar un punto en una superficie reglada y luego soplar la transformación propia de la fibra en la que se encontraba, se produce otra superficie reglada que sigue correspondiendo a la curva excepcional del primer soplado.

Sin embargo, los dos reventones son simétricos, por lo que la misma superficie es una superficie reglada en una dirección diferente, que se mapea en la otra curva excepcional. La única superficie reglada que tiene dos reglas es $\mathbb P^1\times \mathbb P^1$ .