¿Cuál es el vínculo entre los espacios topológicos como locales y los espacios topológicos como infinito-grupoides?

Question

He visto textos que hablan de que los espacios topológicos son esencialmente locales, como Topología a través de la lógica de Vickers, y textos relacionados con la teoría de la homotopía que hablan de que los espacios topológicos son esencialmente infinito-grupoides.

Sin embargo, nunca he visto ningún tratamiento de la topología que combine estas perspectivas o que hable de la relación entre los locales y los grupos infinitos. ¿Dónde debería buscar?

Answer 1

No creo que sea buena idea mezclar los lemas "los espacios topológicos son locales" y "los espacios topológicos son $\infty$ -groupoides". Creo que el primer lema encierra lo que acabamos definiendo como espacios topológicos mientras que el segundo lema encierra lo que deberíamos haber definido como espacios topológicos, al menos si somos topólogos algebraicos (recordemos que $\infty$ -groupoides sólo se supone que capturan espacios topológicos hasta, por ejemplo, la equivalencia débil de homotopía).

Pero déjame hacer una conjetura de todos modos: la respuesta debería ser "teoría de la gavilla superior". La historia para $1$ -debería ser que la categoría de gavillas localmente constantes en una localidad es equivalente a la categoría de funtores de un (pro?-)groupoide a $\text{Set}$ . Este grupoide puede recuperarse mediante una versión adecuada de la reconstrucción de Tannaka y debe considerarse como el grupoide fundamental de la localidad (aunque no coincidirá con el grupoide fundamental en el sentido ordinario sin algunos supuestos de conectividad local). Para obtener el fundamental $2$ -necesitamos considerar localmente constante $2$ -(¿pilas?), cualquiera que sea, y que debería ser equivalente a la categoría de $2$ -funcionarios de a $2$ -groupoide a $\text{Gpd}$ . Y así sucesivamente. Hay algunos Artículos de nLab sugiriendo que alguien ha resuelto todo esto.