Evaluar $\int_{0}^{\frac{\pi}{4}}\tan xdx $ utilizando la idea de la suma de Riemann

Question

Evaluar $$\int_{0}^{\frac{\pi}{4}}\tan x\,dx$$ utilizando la suma de Riemann.

Mi intento: $$\int_{0}^{\frac{\pi}{4}}\tan x\, dx=\frac{\pi}{4}\int_{0}^1\tan\left(\frac{\pi}{4}x\right)dx=\frac{\pi}{4}\lim_{n\to\infty}\frac{1}{n}\sum_{r=1}^{n}\tan\left(\frac{{\pi}r}{4n}\right)$$

Después de esto no soy capaz de proceder

Answer 1

Elija un $N\gg1$ y los puntos de división $$x_k:=\arccos\bigl(2^{-k/(2N)}\bigr)\qquad(0\leq k\leq N)\ .$$ Entonces tenemos $$0=x_0<x_1<\ldots<x_N={\pi\over4}\ ,$$ y $$\cos x_k=2^{-k/(2N)}\qquad(0\leq k\leq N)\ .$$ El teorema del valor medio da $$\cos x_{k-1}-\cos x_k=\sin\xi_k\>(x_k-x_{k-1}),\qquad\xi_k\in[x_{k-1},x_k]\ .$$ De ello se desprende que $$\tan\xi_k\>(x_k-x_{k-1})={\sin\xi_k\over\cos\xi_k}\>(x_k-x_{k-1})={\cos x_{k-1}-\cos x_k\over\cos\xi_k}\ .\tag{1}$$ El punto desconocido $\xi_k$ está entre $x_{k-1}$ y $x_k$ . Por lo tanto, el valor de la RHS aquí está entre los valores que se obtienen poniendo $\xi_k:=x_{k-1}$ o $\xi_k:=x_k$ . Ambas conducen al mismo resultado final, y el teorema del apretón garantiza que éste es también el resultado para el valor correcto desconocido $\xi_k$ . Poniendo $\xi_k=x_k$ en $(1)$ obtenemos $$\tan\xi_k\>(x_k-x_{k-1})={\cos x_{k-1}\over\cos x_k}-1=2^{1/(2N)}-1\qquad (0\leq k\leq N)\ ,$$ para que las sumas de Riemann admisibles $R_N$ se convierten en $$R_N=\sum_{k=1}^N \tan\xi_k\>(x_k-x_{k-1})=N\bigl(2^{1/(2N)}-1\bigr)\ .$$ Ahora $$\lim_{N\to\infty}{2^{1/(2N)}-1\over 1/N}=\lim_{t\to0}{\bigl(\sqrt{2}\bigr)^t-1\over t}=\log\sqrt{2}\ ,$$ como se comprueba fácilmente utilizando la regla de Hopital.

Answer 2

Utiliza el hecho de que si $a_n \to a$ entonces $\frac{1}{n} \sum_{r=1}^n a_r \to a.$