Vínculos entre la teoría geométrica de grupos y la teoría de números

Question

¿Conoce alguna aplicación exitosa de la teoría geométrica de grupos en la teoría de números? GTG es mi principal campo de interés y me encantaría utilizarlo para demostrar nuevos hechos en la teoría de números.

Answer 1

Otra referencia que muestra las conexiones entre la teoría geométrica de grupos y la teoría de números es el libro de A. Lubotzky sobre "Grupos discretos, grafos en expansión y medidas invariantes".

Hay muchos temas especiales en los que surge una conexión entre la teoría de números y la teoría geométrica de grupos. Como ejemplo, véase http://arxiv.org/abs/0901.1458 .

Answer 2

Pregunta muy amplia.

Un ejemplo que me gusta es el siguiente: la teoría clásica de reducción de Minkowski para formas cuadráticas puede reformularse y generalizarse en términos de la acción del grupo de clases de mapas $\textrm{Mod}_g$ en el espacio de Teichmuller $\mathcal{T}_g$ .

A grandes rasgos, se pueden interpretar de forma más general las teorías de reducción de formas en términos de dominios fundamentales para las acciones de grupo (Siegel, Borel, Harish-Chandra y otros).

Answer 3

Es difícil responder a esta pregunta, ya que ambos temas son muy amplios. Así que me limitaré a citar algo de la introducción del libro de Lubotzky y Segal Crecimiento de los subgrupos :

"También ha habido aplicaciones fuera del crecimiento de subgrupos: una caracterización teórica de grupos aritméticos con la propiedad de subgrupos de congruencia, estimaciones para el número de variedades hiperbólicas con volumen dado, y los resultados mencionados anteriormente sobre la enumeración y clasificación de grupos p finitos."

En puede es pertinente señalar que la teoría de la representación y la estabilidad homológica tiene algunas conexiones sorprendentes con la teoría de números. He aquí un enlace a un artículo de Tom Church y Benson Farb (véanse también las referencias que figuran en él) "Representation theory and homological stability": http://arxiv.org/abs/1008.1368