Los números reales $a$ y $b$ satisfacen $a^3+b^3-6ab=-11$. Demuestra que $-\frac{7}{3}<a+b<-2$

Question

<blockquote> <p>Los números reales <span class="math-container">$a$</span> y <span class="math-container">$b$</span> satisfacen <span class="math-container">$a^3+b^3-6ab=-11$.</span> Demuestra que <span class="math-container">$$-\frac{7}{3}<a+b<-2$$</span></p> </blockquote> <p>He demostrado que <span class="math-container">$a+b<-2$</span>. Mi enfoque: <span class="math-container">$-3=8-11=a^3+b^3-6ab+2^3=\frac{1}{2}(a+b+2)((a-b)^2+(a-2)^2+(b-2)^2)$</span>. A partir de esto debemos tener ese <span class="math-container">$a+b<-2$</span>.</p> <p>Por favor, dé alguna idea / pista para la otra parte.</p>

Answer 1

Mostrando ese <span class="math-container">$a+b > - \frac73$</span>: <span class="math-container">$$(a-2)^2+(b-2)^2+(a-b)^2\geq(a-2)^2+(b-2)^2 \geq\frac{(a+b)^2}{2}-4(a+b)+8$$</span> Ahora usando el resultado anterior <span class="math-container">$a + b obtenemos: <span class="math-container">$$\frac{(a+b)^2}{2}-4(a+b)+8> 18$$</span> De la ecuación de OP en la pregunta, esto da</span>

<span class="math-container">$$a+b=-\frac{6}{(a-2)^2+(b-2)^2+(a-b)^2}-2>-\frac{6}{18} -2 = -\frac{7}{3}. \qquad \Box$$</span>