Medida de Sato-Tate para formas automórficas de GL(3)

Question

Como hemos sabido, la medida de Sato-Tate para GL(2) resultó ser la medida del semicírculo

$\frac{1}{2\pi} \sqrt{4-x^2}dx$ en [-2,2],

que aparece en varias versiones de problemas de equidistribución en GL(2).

Mi pregunta es cuál debería ser la medida correspondiente para GL(3).

En primer lugar, observaremos que los valores propios de Hecke en GL(3) pueden ser imaginarios. Y tenemos que sustituir [-2,2] por { $z\in \mathbb{C}:|z|<=3$ } la bola de radio 3 en el plano complejo. Todavía no sé nada más.

Answer 1

(2017-11-26 edit by j.c.: las versiones anteriores de esta respuesta consistían en la captura de pantalla de David Hansen de lo siguiente, con el texto "Aquí hay una captura de pantalla de una semi-respuesta que congeló mi computadora cuando presioné 'post'":)

Las cosas se complican. $\newcommand{\SU}{\mathop{\rm SU}\nolimits} \newcommand{\C}{\bf C} \newcommand{\Irr}{\mathop{\rm Irr}\nolimits} $

Dejemos que $\pi=\pi_\infty\otimes\bigotimes'_p\pi_p$ sea una representación automórfica cuspidal unitariamente normalizada de $GL_n(\bf{A}_{\bf Q})$ Supongamos, para simplificar, que $\pi$ tiene un carácter central trivial. El factor local $\pi_p$ (para $p$ fuera de un conjunto finito $S$ ) está determinada por una matriz $s(\pi_p)\in GL_n(\C)$ que está bien definido hasta la conjugación. La conjetura generalizada de Ramanujan predice que $s(\pi_p)$ puede ser elegido como un elemento del grupo unitario $\SU_n$ . Supongamos que esto es cierto, y que $f:\SU_n\rightarrow\C$ sea una función continua invariante bajo conjugación. He aquí una conjetura generalizada de Sato-Tate:

Si $\pi$ no es una elevación functorial desde un grupo "menor", entonces $\frac{1}{\pi(X)}\sum_{p\leq X}f(s(\pi_p))\rightarrow \int_{\SU_n}f(g)dg$ donde $dg$ es la medida de probabilidad de Haar en $\SU_n$ .

Si $n=2$ y $\pi$ está asociada a una curva elíptica $E$ esto se simplifica drásticamente: la clase de conjugación $s(\pi_p)\in\SU_2$ está determinada de forma única por su traza, que es $\frac{a_p(E)}{\sqrt{p}}$ . Asimismo, cualquier $f$ determina un único continuo $f':[-2,2]\rightarrow\C$ con $f=f'\circ\mathrm{tr}$ . La medida de probabilidad de Haar $dg$ empuja hacia adelante a la medida $\frac{1}{2\pi}\sqrt{4-x^2}$ en $[-2,2]$ y la conjetura adopta ahora la forma más conocida.

¿Cuál es el significado de la condición vaga " $\pi$ no es una elevación functorial desde un grupo menor"? Bueno, vamos a intentar dar un argumento de plausibilidad para la conjetura anterior. Sea $\Irr_n$ denotan el conjunto de representaciones algebraicas irreducibles de $\SU_n$ para $\sigma\in\Irr_n$ , escriba $\chi_\sigma$ por su carácter. En $L^2(\SU_n)$ tenemos

$$f(g)=\sum_{\sigma\in\Irr_n}\chi_\sigma(g)\langle f,\chi_\sigma\rangle.$$

Cambiar $g$ a $s(\pi_p)$ sumando sobre $p\leq X$ y cambiando el orden de la suma se obtiene

$$\frac{1}{\pi(X)}\sum_{p\leq X}f(s(\pi_p)) \approx \int_{\SU_n}f(g)dg + \sum_{\sigma\text{ nontrivial}}\frac{1}{\pi(X)}\sum_{p\leq X}\chi_\sigma(s(\pi_p)).$$

El comportamiento de la suma $\sum_{p\leq X}\chi_\sigma(s(\pi_p))$ está controlada por la función L de Langlands $L(s,\pi,\sigma)$ y en particular esta suma es $o(X)$ si la función L es no evanescente y sin polos en $\mathrm{Re}(s)\geq 1$ . La verdad de esta última propiedad para todos los $\sigma$ se espera que sea equivalente a $\pi$ que no surja por funtorialidad de un grupo menor.

Answer 2

Basándome en los comentarios voy a suponer que la medida que te interesa es el pushforward de la medida de Haar a las clases de conjugación de $\text{SU}(3)$ (No sé nada de por qué debería esperar esto). Hay muchas cosas que se pueden decir sobre esta medida sin escribir una fórmula explícita para ella. En particular, se pueden calcular los momentos de varias variables aleatorias con respecto a esta medida.

La observación básica es que el mapa que envía una representación (compleja, unitaria, de dimensión finita) de $\text{SU}(3)$ a su carácter induce un homomorfismo $\chi$ del anillo de representación de $\text{SU}(3)$ al álgebra de funciones de clase en $\text{SU}(3)$ y por Peter-Weyl la extensión de la imagen es densa. Además, sabemos que la integral sobre $\text{SU}(3)$ del carácter de cada representación: es la dimensión del subespacio invariante. Así que para calcular los momentos de las funciones de clase en $\text{SU}(3)$ (variables aleatorias en las clases de conjugación) basta en principio con entender los subespacios invariantes de los productos tensoriales de las representaciones de $\text{SU}(3)$ (dado que sabe cómo expresar sus funciones de clase en términos de caracteres).

Por ejemplo, supongamos que estamos interesados en los momentos del doble de la parte real de la traza de un elemento aleatorio de $\text{SU}(3)$ . Este es el carácter de la representación $W = V \oplus V^{\ast}$ donde $V$ es la representación definitoria. El $n^{th}$ es entonces precisamente la dimensión del subespacio invariante de $W^{\otimes n}$ y para calcularlo basta con contar el número de paseos de longitud $n$ en una cámara de Weyl desde el origen hasta sí mismo por la teoría del mayor peso. Los primeros momentos son $$1, 0, 2, 2, 12, 30, 130, ....$$

Esto es A151366 en la OEIS. Allí se da una función generadora, pero se trata de funciones hipergeométricas, así que, al igual que Marty, no espero una fórmula explícita especialmente agradable para la medida correspondiente.

(Haciendo lo anterior para $\text{SU}(2)$ se reduce el problema a calcular los momentos de una sola variable aleatoria, la traza. La representación correspondiente es sólo la representación definitoria, la cámara de Weyl es $\mathbb{Z}_{\ge 0}$ y paseos de longitud $n$ en la cámara de Weyl desde el origen hasta ella misma se cuentan por números catalanes, que son los momentos de la medida de Sato-Tate).

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Editar: Emerton dice en los comentarios que el rastro de un elemento de $\text{SU}(3)$ toma valores en $[-3, 3]$ y no determina la clase de conjugación. De hecho, toma valores en la bola de radio $3$ en $\mathbb{C}$ y hace ¡determinar la clase de conjugación!

Recordemos que $g \in \text{SU}(3)$ tiene valores propios $\lambda_1, \lambda_2, \lambda_3$ que son números complejos unitarios que satisfacen $\lambda_1 \lambda_2 \lambda_3 = 1$ . De ello se desprende que $$\lambda_1 \lambda_2 + \lambda_2 \lambda_3 + \lambda_3 \lambda_1 = \overline{\lambda_1 + \lambda_2 + \lambda_3}$$

por lo que $\text{tr}(g) = \lambda_1 + \lambda_2 + \lambda_3$ determina el polinomio característico de $g$ y de ahí su clase de conjugación. Así que para entender el pushforward de la medida de Haar a las clases de conjugación de $\text{SU}(3)$ basta con entender los momentos conjuntos de las partes real e imaginaria de la traza. Por ejemplo, los momentos del doble de la parte imaginaria son (hasta el signo) las dimensiones de los subespacios invariantes de potencias tensoriales de la representación virtual $V \ominus V^{\ast}$ y por eso hay que contar paseos en una cámara de Weyl con ciertos pesos $\pm 1$ . Los primeros momentos son $$1, 0, 2, 0, 12, 0, 98, ...$$

y esta secuencia no parece estar en la OEIS.

Answer 3

Puedo dar una fórmula cerrada para el pushforward de $SU(3)$ Medida de Haar bajo trazado. No entiendo lo suficientemente bien las cuestiones de teoría de números como para saber si quiero $SU(3)$ o $U(3)$ Sin embargo.

Voy a escribir $(e^{i \alpha}, e^{i \beta}, e^{i \gamma})$ para los valores propios de la matriz unitaria, con $\alpha+\beta+\gamma=0$ y escribir $z=x+iy$ para el trazado. Establecer $$\Delta = \left(e^{i \alpha} - e^{i \beta}\right) \left( e^{i \alpha} - e^{i \gamma}\right) \left( e^{i \beta} - e^{i \gamma}\right)$$ así que $$|\Delta| = 8 \sin \left( \frac{\alpha-\beta}{2} \right) \sin \left( \frac{\alpha-\gamma}{2} \right) \sin \left( \frac{\alpha-\gamma}{2} \right) .$$ Por la fórmula de integración de Weyl, la clase de conjugación $(\alpha, \beta, \gamma)$ tiene un volumen proporcional a $|\Delta|^2$ .

Tenemos $$\begin{array}{rcl} z &=& e^{i \alpha} + e^{i \beta} + e^{i \gamma} \\ x &=& \frac{z+\bar{z}}{2} \\ y &=& \frac{z - \bar{z}}{2i} \\ \end{array}$$ así que $dx dy$ es $\frac{1}{2i} dz \bar{dz}$ . Calculamos

$$ \begin{pmatrix} \frac{\partial z}{\partial \alpha} & \frac{\partial z}{\partial \beta} \\ \frac{\partial \bar{z}}{\partial \alpha} & \frac{\partial \bar{z}}{\partial \beta} \\ \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} e^{i \alpha} - e^{i \gamma} & e^{i \beta} - e^{i \gamma} \\ e^{-i \alpha} - e^{-i \gamma} & e^{- i \beta} - e^{-i \gamma} \\ \end{pmatrix}.$$ Así que el jacobiano de $(\alpha, \beta) \mapsto (z,\bar{z})$ es $$ \begin{array}{rcl} (e^{i \alpha} - e^{i \gamma})(e^{-i \beta} - e^{-i \gamma}) - (e^{-i \alpha} - e^{-i \gamma})(e^{i \beta} - e^{i \gamma}) &=& (e^{i \alpha} - e^{i \gamma})(e^{i \beta} - e^{i \gamma})(-e^{-i (\beta+\gamma)} + e^{-i(\alpha+\gamma)})\\ &=& (e^{i \alpha} - e^{i \gamma})(e^{i \beta} - e^{i \gamma})(- e^{i \alpha} + e^{i \beta}) \\ &=& - \Delta \\ \end{array}$$

Creo que podría haber perdido una señal en alguna parte, pero el punto es que $\Delta dx dy$ es proporcional a $d \alpha d \beta$ . Así que la medida de Weyl, $|\Delta^2| d \alpha d \beta$ es proporcional a $|\Delta| dx dy$ . (Si realmente quieres practicar tu trigonometría de la escuela secundaria, intenta hacer ese cálculo con $x$ y $y$ en lugar de $z$ y $\bar{z}$ .)

Ahora, $\Delta^2$ es el discriminante de la cúbica $$t^3 - (x+iy) t^2 + (x-iy) t - 1.$$ Mathematica me dice que es $$-27 + 18 x^2 - 8 x^3 + x^4 + 18 y^2 + 24 x y^2 + 2 x^2 y^2 + y^4$$

Así que la medida deseada en $\mathbb{C}$ es proporcional a $$\sqrt{27 - 18 x^2 + 8 x^3 - x^4 - 18 y^2 - 24 x y^2 - 2 x^2 y^2 - y^4} dx dy.$$ La región donde la cantidad de la raíz cuadrada es no negativa es exactamente el deltoide que describe John Baez.

En principio, uno debería ser capaz de realizar este cálculo con el suficiente cuidado como para obtener la constante, pero no lo voy a hacer.

Conceptualmente, este cómputo es similar al cómputo clásico de que el mapa que envía $(\alpha_1, \ldots, \alpha_r)$ a los coeficientes del polinomio $\prod (z-\alpha_i)$ tiene el jacobiano $\prod_{i<j} (\alpha_i - \alpha_j)$ . Sin embargo, debido a la restricción de que los valores propios tienen producto $1$ los detalles no coinciden del todo.