El haz anticanónico en una variedad bandera es amplio

Question

Hola,

Me gustaría obtener referencias o respuestas, para lo siguiente. ¿Cómo demuestro que el haz de líneas anticanónico (es decir, dual a la potencia de cuña superior del haz cotangente) en una variedad bandera (de un grupo algebraico semisimple en char. 0) es amplio?

Gracias, señor, Sasha

Answer 1

Vale la pena señalar que el criterio de amplitud se aplica de manera uniforme para los grupos reductores y las variedades bandera en cualquier característica. Desde el punto de vista de los grupos algebraicos, el único punto sutil es que la variedad bandera $G/B$ debe implicar un subgrupo de Borel $B$ correspondiente a negativo en lugar de raíces positivas. Aquí se tiene un toro fijo maximal $T\subset B$ cuyo grupo de caracteres $X(T)$ contiene la red raíz.

Las ideas clásicas de la geometría algebraica relacionadas con esta configuración en característica 0 son utilizadas por Demazure en su obra de 1976 Inventar. Math. artículo "Una prueba muy breve del teorema de Bott". Elección de $B$ de esta forma no estándar evita un cambio de signo en el peso que determina un haz de líneas. Con esta convención (contraria a la suya), los haces de líneas amplios corresponden precisamente a dominante pesos que también son regular (para que algún múltiplo positivo suficientemente grande sea muy amplio). En particular, le preocupa el peso $2\rho$ : aquí $2\rho$ es la suma de todas las raíces positivas, correspondiente al producto de cuña más alto de la parte positiva del álgebra de Lie. Es una observación elemental sobre raíces y pesos que $\rho$ es a la vez dominante y regular (el menor peso de este tipo en la ordenación parcial habitual). Por tanto, ya define un haz de líneas amplio siempre que $\rho \in X(T)$ por ejemplo, cuando el grupo derivado del grupo reductor es simplemente conexo.

Toda esta maquinaria se traslada intacta a la característica primera, donde es explotada por Kempf y luego por Henning Andersen para explorar la cohomología de haces de líneas en una variedad bandera. Una referencia que merece la pena consultar es la sección II.4.4 del gran libro de Jantzen sobre la AMS (segunda edición, 2003): Representaciones de grupos algebraicos . Hay muchas referencias anteriores que podría señalar en la obra que he mencionado. En cualquier caso, la respuesta "correcta" a la pregunta formulada depende en parte del lenguaje que resulte más cómodo en esta interfaz de geometría algebraica y grupos algebraicos. Pero la pregunta en sí es bastante estrecha y no requiere el estudio detallado de las variedades de Schubert.

AÑADIDO: He aquí algunas observaciones (incompletas) sobre la historia y las fuentes. Los trabajos de Demazure en la década de 1960 desplazaron el estudio de la cohomología de haces de líneas en variedades bandera al ámbito de la geometría algebraica, aunque se mantuvo principalmente en la característica 0. Los numerosos trabajos de Andersen a partir de la década de 1970 explotan de forma creativa la amplitud de un haz de líneas unido a un peso dominante regular en característica prima. Se inspiró en la demostración de Demazure del teorema de Bott y también en el artículo fundacional de Iversen en Avances en Matemáticas (1976), que mostraba cómo formular muchas ideas sobre geometría algebraica y grupos algebraicos sobre un campo algebraicamente cerrado arbitrario. Mientras tanto, Kempf demostró en la década de 1970 algunos resultados profundos aplicables a la característica primera en este marco. Su largo trabajo de 1978 Avances El artículo "The Grothendieck-Cousin complex of an induced representation" (El complejo Grothendieck-Cousin de una representación inducida) trata en detalle los haces de líneas en la parte I (véase especialmente el lema 5.3). Sin embargo, para mí sus artículos son bastante difíciles de leer. La referencia que di al capítulo II.4 de Jantzen (sobre el teorema de fuga de Kempf) trata de forma más concisa la amplitud de los haces de líneas en 4.3 y 4.4. (Aquí se explican las aproximaciones de Andersen y Haboush al teorema de Kempf).

CODA: Debo volver a la breve pregunta formulada inicialmente. Lo esencial es identificar el peso $\chi \in X(T)$ que determina el haz de líneas en cuestión en una variedad de bandera $G/B$ donde $T$ es un toro maximal en $B$ y $B$ corresponde (digamos) a raíces negativas de $G$ en relación con $T$ . Para ello es necesario extraer $\chi$ a partir del formalismo del haz cotangente: este haz implica el subespacio $\mathfrak{n}$ del álgebra de Lie (= espacio tangente) que es la suma de espacios de raíces positivas; aquí se sabe que $\dim \mathfrak{n} = N = \dim G/B$ por lo que el $N$ a potencia exterior lleva el peso (dominante regular) $2\rho$ = suma de raíces positivas. Nótese también que la dualidad no afecta a este peso en particular.

Answer 2

Permítanme que añada algo a la exhaustiva respuesta de Jim Humphreys señalando que la (gran) amplitud de los haces de líneas procedentes de pesos dominantes regulares ya fue observada por Borel y Weil, y aparece esencialmente como Thm.4 en el informe Bourbaki de Serre

Linear representations and homogeneous Kählerian spaces of compact Lie groups (por Armand Borel y André Weil). Séminaire Bourbaki, Vol. 2, Exp. nº 100, 447-454, Soc. Math. France, París, 1995.

(Véase el ejemplo que sigue a Thm.4 en p.453.)

Aunque Borel y Weil trabajan sobre $\mathbb C$ Probablemente merezca la pena resumir aquí su argumento. Comienzan observando que el haz de líneas $L_\lambda \to G/B$ procedente de un peso $\lambda$ se extiende por secciones globales si $\lambda$ es dominante. En este caso, la imagen del mapa $G/B \to \mathbb P (H^0(G/B,L_\lambda)^\ast)$ definido por secciones es de la forma $G/P$ donde $P\supset B$ es el subgrupo parabólico definido por las raíces simples perpendiculares a $\lambda$ . Por lo tanto, si $L_\lambda$ es no muy amplia, de modo que la mencionada fibración $G/B \to G/P$ no es una incrustación, se concluye que $P$ debe contener adecuadamente $B$ y, en consecuencia, que $\lambda$ debe ser perpendicular a alguna raíz simple, por lo tanto no es regular.