Averigüe si$\sum\limits_{n=1}^{\infty} a^{1+\frac1{2}+\frac1{3}+\dots+\frac1{n}}$,$a > 0$ converge o no.

Question

Averigüe si $\sum\limits_{n=1}^{\infty} a^{1+\frac1{2}+\frac1{3}+\dots+\frac1{n}}$ , $a >0$ converge o no.

Usé el criterio de d'Alembert y encontré $\lim_{n\to \infty} \frac{x_n}{x_{n+1}}=1$

Pasando a la prueba de Raabe – Duhamel, encontré $$\lim_{n\to \infty} n(\frac{x_n}{x_{n+1}} -1) = \lim_{n\to \infty} n(\frac{1}{\sqrt[n+1]{a}} - 1) $ $

¿Qué puedo hacer desde ahí? ¿O hay una mejor manera de averiguar si $\sum\limits_{n=1}^{\infty} a^{1+\frac1{2}+\frac1{3}+\dots+\frac1{n}}$ , $a >0$ converge o no?

Answer 1

pista

Puede utilizar el hecho de que la secuencia PS

converge a la constante de Euler $$\sum_{k=1}^n\frac 1k-\ln(n)$ .