Clases de conjugación de PGL(3,Z)

Question

Sabemos que cada $2\times 2$ matriz en $PGL(2, \mathbb{Z})$ de orden $3$ es conjugada con la matriz $$ \left( \begin{array}{cc} 1 & -1 \\ 1 & 0 \end{array} \right) $$ .

Me interesa saber hasta qué punto esto es válido para $3\times 3$ matrices enteras invertibles.

En otras palabras, ¿cuántas clases de conjugación de matrices de orden 3 en $PGL(3, \mathbb{Z})$ ¿están ahí?

Answer 1

Trabajaré en ${\rm GL}$ en lugar de ${\rm PGL}$ .

La pregunta correspondiente sobre ${\rm GL}_3(\mathbb{Z})$ es esencialmente $^1$ equivalente a preguntar cuántos fieles $\mathbb{Z}[G]$ -libres de rango 3 sobre $\mathbb{Z}$ son hasta el isomorfismo, donde $G$ es el grupo cíclico de orden 3. Cualquier módulo de este tipo es una suma directa de módulos indecomponibles, y éstos han sido clasificados en I. Reiner, Integral representations of cyclic groups of prime order, Proc. Amer. Math. Soc. 8 (1957), 142-146. Hay tres módulos indecomponibles $\mathbb{Z}[G]$ -módulos:

• el módulo trivial de $\mathbb{Z}$ -Grupo 1, $\Gamma_1$ ,
• el ideal de aumento de $\mathbb{Z}[G]$ que tiene $\mathbb{Z}$ -Grupo 2, $\Gamma_2$ ,
• el módulo regular $\Gamma_3=\mathbb{Z}[G]$ sí mismo.

Así que hay dos clases de isomorfismo de módulos fieles de rango 3:

• $\Gamma_1\oplus \Gamma_2$ ,
• $\Gamma_3$ .

Hay que tener en cuenta que, en general, el Teorema de Krull-Schmidt falla para $\mathbb{Z}[G]$ -módulos, pero en este caso es fácil ver que los dos tipos no son isomorfos, ya que, por ejemplo, en uno de ellos el componente isotípico trivial es un sumando directo, y en el otro no lo es. Alternativamente, los dos no son isomorfos sobre $\mathbb{Z}_3$ y Krull-Schmidt hace de los anillos locales.

${}^1$ Para eliminar la palabra "esencialmente", hay que comprobar que cualquier matriz obtenida de este modo es conjugada con su inversa. Esto es cierto porque cada uno de los módulos indecomponibles enumerados anteriormente puede extenderse a un módulo bajo el grupo simétrico $S_3$ como es fácil de comprobar.

Answer 2

Los subgrupos finitos de $GL_3(\mathbb{Z})$ se conocen en la literatura:

$\qquad$ Tahara: Sobre los subgrupos finitos de $GL(3,\mathbb{Z})$ . Nagoya Math. J. 41(1971), 169-209.

En particular, la Proposición 3 afirma que hay exactamente dos subgrupos no conjugados de orden tres. Los representantes son $$U_1=\langle \begin{pmatrix}1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & -1 \\ 0 & 1 & -1 \end{pmatrix}\rangle, \qquad U_2=\langle\begin{pmatrix}0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ 1 & 0 & 0 \end{pmatrix}\rangle$$

Añadido: En $PGL_3(\mathbb{Z})=GL_3(\mathbb{Z})/\langle -I\rangle$ también hay exactamente dos clases de conjugación de subgrupos de orden 3 y los representantes son $\bar{U}_1,\bar{U}_2$ .

Porque, dejemos $V_i=\langle x_i\rangle \le G := GL_3(\mathbb{Z}),i=1,2$ sean subgrupos de orden 3. Si $\bar{V}_i$ son conjugados en $\bar{G} :=PGL_3(\mathbb{Z})$ entonces hay $g \in G$ s.t. $x_2=(\pm I)gx_1^kg^{-1} (k=1,2)$ y por lo tanto $(\pm I)^3=I$ y $x_2=gx_1^kg^{-1}$ es decir, el $V_i$ se conjugan en $G$ .

A la inversa, dejemos que $\bar{V}$ sea un subgrupo de $\bar{G}$ de la orden tres. Es la preimagen en $G$ tiene el orden 6. Por lo tanto, hay $V \le G$ de orden tres que mapea a $\bar{V}$ y por lo anterior $V$ se conjuga con algún $U_i$ .