La intersección de dos $l_1$ bolas

Question

Dejemos que $B_1$ y $B_2$ sean dos bolas en $\mathbb{R}^n$ con respecto a la $l_1$ norma que tienen diferentes radios y diferentes centros. ¿Existe un límite superior para el número de vértices que $B_1\cap B_2$ ¿tiene?

Answer 1

Existe un límite superior exponencial de $9^n$ ya que cada vértice de $B_1 \cap B_2$ es la intersección de a $k$ -cara de $B_1$ y un $(n-k)$ -cara de $B_2$ para algunos $k$ y el $\ell_1$ -el balón tiene $3^n$ caras (todas las dimensiones se cuentan juntas).

No se puede hacer nada mejor para los grandes $n$ excepto el valor de la constante $9$ . En efecto, dejemos que $B_1$ sea $\ell_1$ bola de centro $(\frac 1n,\cdots,\frac 1n)$ y el radio $1$ y $B_2=-B_1$ . Entonces $B_1 \cap B_2$ es el $(n-1)$ -politopo de dimensiones definidas como $$ \{ (x_1,\dots,x_n) \, : \, \sum x_i=0, \ |x_i| \leq 1/n \} .$$ Si (para simplificar) $n$ es uniforme, tiene $\binom{n}{n/2} \geq (2-o(1))^n$ puntos extremos, es decir, los vectores con $|x_i|=1/n$ y señales distribuidas uniformemente.

Sorprendentemente, con bolas giradas centradas en el origen, se obtiene el mismo fenómeno. En efecto, la intersección $K$ de la norma $\ell_1$ bola con una copia de sí misma girada al azar tiene (con alta probabilidad) la propiedad de que $\frac{1}{\sqrt{n}} B \subset K \subset \frac{C}{\sqrt{n}} B$ para alguna constante $C$ (aquí $B$ es la bola unitaria euclidiana). Esto se conoce como la "forma global del teorema de Kashin", véase el teorema 5.5.4. en [1]. Que las fuerzas de emparedamiento $K$ tener al menos $\exp(cn)$ vértices para alguna otra constante $c$ (esencialmente porque un casquete esférico de ángulo fijo inferior a $\pi/2$ cubre una proporción exponencialmente pequeña de la esfera como $n \to \infty$ ).

1] S. Artstein-Avidan, A. Giannopoulos, V. Milman, Asymptotic Geometric Analysis, Part I