Orientación sobre finito dimensionales espacios vectoriales sobre campos finitos.

Question

Para finito-dimensional $\mathbb R$-espacios vectoriales, podemos definir una orientación a ser una clase de equivalencia de ordenada bases, donde $B_1 \sim B_2$ iff la matriz de cambio de base $A$ de los que tomaron $B_{1}$ $B_{2}$tiene determinante positivo. Entonces hay dos clases de equivalencia, que llamamos, "positivo" y el otro que podemos llamar, "negativo".

Yo quería saber si alguno se ha hecho para ampliar esto a lo finito-dimensional espacios vectoriales sobre campos finitos. Mi idea era hacer todo como el anterior, pero sustituyendo la condición de $\det A>0$ $\det A$ es una ecuación cuadrática de residuos. Esto debería dividir las bases en dos clases de equivalencia tal como se dijo anteriormente.

He jugado con estos y noté algunas cosas interesantes. Por ejemplo supongamos $q=p^{f}$ $\mathbb F_{q}$ $\mathbb F_{p}$ espacio vectorial. A diferencia del caso de $\mathbb R$ si $q \not\equiv 3 \pmod 4$ a continuación, cambiar cualquiera de los dos vectores en su base no cambia la equivalencia de clase, porque el determinante de la correspondiente matriz de cambio de base es $-1$, que es un residuo cuadrático en este caso.

Tiene cualquier trabajo que se ha hecho en esta, o hay otras definiciones o conceptos relacionados que pueden ser de interés?

Answer 1

El concepto que generaliza a todos los campos no es una orientación, pero una "forma de volumen," por que me refiero a un elemento distinto de cero de la parte superior exterior de energía $\Lambda^n(V)$ $n$- dimensional espacio vectorial sobre un campo $k$. Al $k = \mathbb{R}$, el espacio de volumen formas tiene dos componentes conectados (de hecho puede ser noncanonically identificado con $k^{\times} = \mathbb{R}^{\times}$), y una elección de un componente conectado, da una orientación. Más generalmente, si $G$ es cualquier grupo topológico, mirando a los componentes conectados da un natural homomorphism $G \to \pi_0(G)$, por lo que uno puede pensar de una opción de orientación como una opción de elemento en la imagen de la natural mapa $$\Lambda^n(V)^{\times} \to \pi_0 \left( \Lambda^n(V)^{\times} \right)$$

A través de un campo arbitrario sólo puede elegir cualquier cociente grupo de $\Lambda^n(V)^{\times}$ y considerar la opción de "generalizada de orientación," por ejemplo, por encima de lo sugerido quotienting por el subgrupo de plazas. Una selección de volumen formulario a continuación, siempre, naturalmente, dar lugar a una "generalizada de la orientación."

Pero es claro si se trata de cualquier uso.