Formas de cúspide para $\Gamma (N)$

Question

Sé cómo construir una base del espacio vectorial de formas de cúspide para los subgrupos de congruencia $\Gamma_1 (N)$ y $\Gamma_0 (N)$ pero no pude encontrar en la literatura cómo construir una base para $\Gamma(N)$ . Además, Sage no parece ser capaz de hacer esto.

Por ejemplo, para $N=6$ y peso 2, la dimensión de este espacio es 1. ¿Es posible calcular explícitamente los coeficientes de Fourier de la forma cúspide?

Answer 1

Puedes hacerlo en Sage pero "disfrazado". La idea es que si $f(z)$ es una forma de cúspide para $\Gamma(N)$ entonces $g(z) := f(Nz)$ es una forma de cúspide para un determinado subgrupo intermedio entre $\Gamma_0(N^2)$ y $\Gamma_1(N^2)$ que Sage llama $\Gamma_H(N^2, [N + 1])$ La $N + 1$ está aquí porque genera el subgrupo de $(\mathbf{Z} / N^2 \mathbf{Z})^\times$ que consiste en clases que son 1 mod $N$ . Si $f(z) = \sum a_n q^{n/N}$ entonces $g(z) = \sum a_n q^n$ Así que si tienes el $q$ -expansión de $g$ entonces usted tiene el $q$ -expansión de $f$ y viceversa.

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| Sage Version 5.9, Release Date: 2013-04-30                         |
| Type "notebook()" for the browser-based notebook interface.        |
| Type "help()" for help.                                            |
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sage: G = GammaH(36, [7])
sage: G.index() == Gamma(6).index()
True
sage: [g.q_expansion(25) for g in CuspForms(G, 2).basis()]
[q - 4*q^7 + 2*q^13 + 8*q^19 + O(q^25)]

(Tenga en cuenta que este $g$ en realidad tiene carácter trivial, y es de tipo CM, por lo que su $q$ -la expansión tiene muchos coeficientes cero).