Prueba

Question

Entonces, esta integral me recuerda a la integral de Dirichlet, pero no estoy seguro de poder usar métodos similares para resolverla. Quiero probar

PS

Intenté parametrizar con

PS

o

PS

Pero ninguno de ellos funcionó para mí. No estoy seguro de qué hacer. Realmente me gustaría usar métodos reales y no análisis complejos, ya que aún no lo he aprendido.

Answer 1

Si escribe <span class="math-container">$\frac{1}{x^2}$</span> como <span class="math-container">$\int0^\infty ye^{-xy}dy$</span> y usa <span class="math-container">$2i\sin x=e^{ix}-e^{-ix}$,</span>la integral se convierte en<span class="math-container">$$\begin{align}&\frac{i}{8}\int{[0,\,\infty)^2}y(e^{-x(y-3i)}-3e^{-x(y-i)}+3e^{-x(y+i)}-e^{-x(y+3i)})dxdy\&=\frac{i}{8}\int_0^\infty y\left(\frac{1}{y-3i}-\frac{3}{y-i}+\frac{3}{y+i}-\frac{1}{y+3i}\right)dy\&=\frac34\int_0^\infty\left(\frac{y}{y^2+1}-\frac{y}{y^2+9}\right)dy\&=\frac38\left[\ln\frac{y^2+1}{y^2+9}\right]_0^\infty=\frac34\ln3.\end{align}$$</span>

Answer 2

<span class="math-container">\begin{align} \int_0^{\infty} \frac{\sin^3(x)}{x^2} dx &= \frac14\int_0^{\infty} (3\sin x- \sin 3x)d(-\frac1x)dx\ &=\frac34 \int_0^{\infty} \frac{\cos x- \cos 3x}{x}dx\ &= \frac34 \int_0^\infty dx\int_1^3\sin ux du\ & =\frac34\int1^3 du \lim{t\to0}\int_0^\infty{e^{-t x}\sin u x}\, dx\ &=\frac34\int1^3 du \lim{t\to0}\ \frac u {t^2+u^2} =\frac34\int_1^3 \frac 1u du = \frac34\ln3 \end{align}</span>