Es la primera vez en mi vida que quiero utilizar los tecnicismos de los espectros de anillos estructurados, y no estoy muy familiarizado con la bibliografía pertinente. Busco una referencia que defina la teoría K algebraica para álgebras unitales asociativas en espectros simétricos.
Respuesta
¿Demasiados anuncios?
Tom, no estoy muy seguro de lo que quieres. Supongo que quieres pensar en un espectro de anillo simétrico conmutativo $R$ y luego un $R$ -álgebra $A$ . Sin la capa adicional, basta con utilizar un $S$ -álgebra $R$ (no necesariamente conmutativa), la fuente original de la algebraica $K$ -teoría de $R$ es el capítulo VI del EKMM, pero, por supuesto, en términos de la $S$ -allí.
El punto esencial es tener una homotópicamente de espectros simétricos monoidales homotópicos en la que trabajar. Ahora tenemos varias: espectros simétricos, espectros ortogonales y EKMM. $S$ -módulos. Puesto que tenemos equivalencias de Quillen que preservan el producto smash productos entre ellos, para muchos propósitos fundacionales no importa en qué categoría trabajas. Como eso quedó claro desde el principio, hay muchas cosas en EKMM que no se han repetido con todo detalle en posteriores fuentes. Las diferencias de detalle no son especialmente significativas y no es difícil encontrar teoremas de comparación que demuestren que no importa importa dónde se trabaje. (Esto no es cierto cuando se trabaja con teoría multiplicativa del espacio de bucles infinitos, que es relevante pero creo que no es lo que preguntas). creo que no es lo que preguntas). Probablemente haya una buena fuente fuente más reciente centrada en espectros simétricos, pero no la conozco.
He aquí una cita pertinente de un buen artículo de Blumberg y Mandell (La secuencia de localización para la algebraica $K$ -teoría de la topología $K$ -teoría): "Trabajamos en el contexto de EKMM $S$ -módulos, $S$ -álgebras, y $R$ -módulos. Dado que otros contextos para los fundamentos de una moderna categoría moderna de espectros $K$ -espectros teóricos, presumiblemente los argumentos aquí presentados podrían ajustarse a estos contextos, pero las categorías EKMM tienen ciertas ventajas técnicas que explotamos y que afectan a la forma precisa de las afirmaciones que siguen".
