Orden de matrices unipotentes sobre$\mathbb{Z}/q\mathbb{Z}$

Question

Deje que$q$ sea una potencia principal y$n\geq2$ sea un número entero. ¿Se sabe cuál es el orden más grande de una matriz$n\times n$ triangular superior unipotente sobre el anillo$\mathbb{Z}/q\mathbb{Z}$? Lo que más me interesa son los límites superiores.

Answer 1

Dejar $q=p^r$. Los valores propios de una matriz unipotente son todos 1, por lo que podemos conjugarlos en la forma canónica de Jordan sin ampliar el campo. Esto produce una matriz triangular superior unipotente con entradas en${\Bbb Z}/p{\Bbb Z}$. Por tanto, la respuesta es independiente de$r$.

Considere un bloque de Jordan$A$ de tamaño$m$. Calculando sus poderes vemos que su orden es$p^t$ donde$t=\lceil m / p \rceil$. Por tanto, su respuesta es$p^{\lceil n / p \rceil}$.