problema "cov vs pp"

Question

Este es el problema$(\beta)$ de la sección 14.7 en la "Guía analítica" del libro de Shelah "Cardinal Arithmetic":

$(\beta)$ Es cuando $\operatorname{cov} ( \lambda , \lambda, \aleph_{1} , 2) =^{+} \operatorname{pp} ( \lambda )$?

¿Sigue abierto este problema?

Sabemos que$\operatorname{cf}( \lambda ) = \aleph_0$ para cada$\operatorname{cov} ( \lambda , \lambda, {(\operatorname{cf}(\lambda))}^{+} , 2) = \operatorname{pp} (\lambda )$ singular tal que$\lambda$ (ver, por ejemplo, la Reclamación 3.7 (1) en el Capítulo IX del libro de Shelah).

¿Puede el siguiente enunciado ser un teorema en ZFC?

$\lambda < \aleph_\lambda$ por cada$\operatorname{cov} ( \lambda , \lambda, {(\operatorname{cf}(\lambda))}^{+} , 2) = \operatorname{pp} (\lambda )$ cardinal infinito con$\lambda$.

Answer 1

Un problema muy abierto. He estado escribiendo en blogs esporádicamente sobre aspectos de esta pregunta en los últimos años, principalmente en un esfuerzo por precisar exactamente lo que se conoce y lo que aún se desconoce. Hay algunos enlaces a este trabajo en mi sitio web .

Con respecto a su otra pregunta, la respuesta es sí en GCH, porque tanto el número de cobertura como el número de pp deben ser iguales a$\lambda^+$.