¿Qué se sabe sobre los subgrupos libres no abelianos en álgebras asociativas finitamente generadas de crecimiento polinómico (por ejemplo, sobre campos finitos, para evitar subgrupos libres finito-dimensionales)? Por ejemplo, ¿existen ejemplos de ideales I en el álgebra de grupo A del grupo libre F tales que A/I tenga crecimiento polinómico pero el mapa natural F \to ¿AI es inyectiva?
Respuesta
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Sea $p$ sea un número primo. Consideremos el álgebra $A:=M_2((\mathbb Z/p\mathbb Z)[t])$ y el grupo $G:=(\mathbb Z/p \mathbb Z) \ast (\mathbb Z/p \mathbb Z) = \langle a,b \mid a^p,b^p \rangle$ .
Mira el homomorfismo $\varphi \colon G \to A^{\times}$ que se define por $$\varphi(a):=\left( \begin{matrix} 1& t \\ 0 & 1 \end{matrix} \right), \quad \mbox{and} \quad \varphi(b):=\left( \begin{matrix} 1& 0 \\ t & 1 \end{matrix} \right).$$
Es fácil ver que $\varphi$ es inyectiva. En efecto, si por ejemplo $w = a^{n_1}b^{m_1} \cdots a^{n_k}b^{m_k}$ con $n_i,m_i \in \{1,\dots,p-1\}$ entonces el polinomio en la esquina superior izquierda de la matriz $\varphi(w)$ tiene grado $2k$ y coeficiente principal igual a $n_1 \cdots n_k m_1 \cdots m_k \neq 0.$ Los demás casos son similares.
Tenga en cuenta que $A$ es de crecimiento polinómico y si $p \geq 3$ entonces $G$ contiene un subgrupo libre.
