como te lo demuestro

Question

Pregunta:- Demuestra que <span class="math-container">$$\int_0^1 \frac {x-1}{\log(x) (1+x^3)} \, dx = \frac {\log(3)}{2}$$</span>

Vi este problema como un comentario en un video de Youtube hace unas horas, pero no sé cómo probar este como integración por partes no funciona aquí. Además, no pude averiguar ninguna subsitución adecuada que simplificara lo integral.

¿Puede alguien sugerirme algunas pistas?

Answer 1

Alternativamente, para el enfoque de Mark Viola,utilice la serie geométrica para ver <span class="math-container">$$\small\int0^1\frac{x-1}{x^3+1}\frac{{\rm d}x}{\log x}=\sum{n\ge0}(-1)^n\int0^1\frac{x^{3n+1}-x^{3n}}{\log x}\,{\rm d}x=\sum{n\ge0}(-1)^{n+1}\int_0^\infty\frac{e^{-(3n+2)x}-e^{-(3n+1)x}}x\,{\rm d}x$$</span> Este último es un frullani integral y evalúa como <span class="math-container">$$\int_0^\infty\frac{e^{-(3n+2)x}-e^{-(3n+1)x}}x\,{\rm d}x=-\log\left(\frac{3n+2}{3n+1}\right)$$</span> y así llegar a <span class="math-container">$$\int0^1\frac{x-1}{x^3+1}\frac{{\rm d}x}{\log x}=\sum{n\ge0}(-1)^n\log\left(\frac{3n+2}{3n+1}\right)$$</span> Aswell.