El teorema de Cayley y el lema de Yoneda

Question

Hola, de wiki, sé que yoneda lema es la generalización del teorema de Cayley. Pero no entiendo bien la intuición detrás de eso. ¿Alguien me puede ayudar con eso? ¡Salud!

Answer 1

"No encaja" es una instrucción del diseñador al fabricante: no monte este componente. Significa que el conector no estará allí, pero se puede instalar más tarde.

Answer 2

Sea$G$ un grupo finito de orden$n$ y consideremos la categoría$\mathscr G$ con un solo objeto$\{ \bullet \}$ y cuyos morfismos consisten en los elementos de$G$, es decir ,$\mathrm{Hom}_{\mathscr G}(\bullet, \bullet)=G$.

Sea$h^{\bullet}=\mathrm{Hom}_{\mathscr G}(\bullet , {\_} )$ el functor de Yoneda. Entonces, según el lema de Yoneda PS lo que implica que$$\mathrm{Nat}(h^{\bullet},h^\bullet)\simeq \mathrm{Hom}_{\mathscr G}(\bullet,\bullet),$ es un functor fiel. En otras palabras, PS asigna$h^\bullet$ al conjunto$$ h^{\bullet} : \mathscr G \to \mathscr Set$ (donde$\bullet$ es el conjunto de elementos de$\mathrm{Hom}_{\mathscr G}(\bullet,\bullet)\simeq_{\mathscr Set} |G|$) y también incrusta el grupo (!)$|G|$ en$G$, lo que le da el teorema de Cayley.