No sé si esto ha sido estudiado, pero me pueden explicar en parte.
Escribir $f(n)$ para el Collatz regla. Considere la posibilidad de la representación binaria de $n$. Si termina en 0 bits seguido exactamente $t$ 1-bits con $t>1$, es decir,$n=a2^{t+1}+2^t-1$$a\ge 0$, luego
$$
\begin{align}
f(f(n-1)) & = f(a2^t+2^{t-1}-1) & = (3a+1)2^t+2^{t-1}-2 \\
f(f(n)) & = f((3a+1)2^{t+1}+2^t-2) & = (3a+1)2^t+2^{t-1}-1
\end{align}
$$
Es decir, $f(f(n))-1=f(f(n-1))$ $f(f(n))$ termina en 0 bits seguido exactamente $(t-1)$ 1-bits.
Si escribimos $\langle a,t \rangle$$a2^{t+1}+2^t-1$, luego tenemos la norma de $f(f(\langle a,t \rangle)) = \langle 3a+1,t-1 \rangle$ al $t>1$. Tenga en cuenta que esto cambia la paridad de ambas partes $a\to 3a+1$$t\to t-1$.
Utilizando esta notación su ejemplo comenzando con 351 va:
$$
351=\langle 5,5 \rangle \a 527=\langle 16,4 \rangle
\a \langle 49,3 \rangle \a \langle 148,2 \rangle \a \langle 445,1 \rangle = 1781
$$
donde cada flecha es la aplicación de $f$ dos veces.
Por último, si $n=8k+5$
$$
\begin{align}
f(f(f(n-1))) & = f(2k+1) & = 6k+4 \\
f(f(f(n))) & = f(f(24k+16)) & = 6k+4
\end{align}
$$
por lo que las secuencias de partida con $n$ $n-1$ convergen después de 3 pasos.
Ahora $n=8k+5=\langle 2k+1,1\rangle$, por lo que si empezamos con $\langle a_1,t \rangle \to \langle a_2,t-1 \rangle \to \cdots$ y llegar a $\langle a_t,1 \rangle$ $a_t$ impar, entonces la serie converge después de más de 3 $f$-pasos. Puesto que el $a_i$ presentan alternancia de paridad, esto sucederá si empezamos con cualquier $a_1\equiv t \pmod{2}$.
En resumen: Para cualquier $a\equiv t \pmod{2}$ $a\ge 0$ $t>1$ deje $n=a2^{t+1}+2^t-1$. A continuación, $f^c(n)=f^c(n-1)$ donde $c=2(t-1)+3$ (y este es el menor valor de $c$ para que coincidan).
Esto es suficiente para generar ejemplos de convergencia de las secuencias. por ejemplo, vamos a $a=1001,t=3$ $n=16023$ y las secuencias de ir:
$$
\begin{array}{llll}
16022,8011, & 24034, 12017, & 36052, 18026, 9013, & 27040,\ldots \\
16023,48070, & 24035, 72106, & 36053, 108160, 54080, & 27040,\ldots
\end{array}
$$
Sin embargo, existen otras posibilidades, como su 237,238 ejemplo se muestra. Este caso en particular, puede ser explicado por la observación de que si $n=4k+2$$f^3(n)=3k+2=f^3(n-1)+1$. Aquí $f^3(238)=179=\langle 22,2\rangle$. En general, se pueden obtener a $\langle 3m+1,2 \rangle = f^3(32m+14)$. Usted debe ser capaz de generar otras reglas como esta tratando de solucionar $f^c(n)=f^c(n-1)+1$ pequeña $c$.
