Intuición detrás de la densidad espectral de las matrices aleatorias

Question

Hola,

He leído que la densidad espectral de una matriz aleatoria NxN formada por variables aleatorias iid con media cero y varianza unitaria converge a medida que N se hace infinito a la distribución uniforme en el disco unitario. Me preguntaba si hay una forma intuitiva de entender por qué debería ser así.

Answer 1

No conozco una derivación totalmente intuitiva, pero hay algunos argumentos informales que dan la ley circular con una cantidad relativamente pequeña de cálculos.

Dejemos que $M$ sea una matriz cuyas entradas son iid con media cero y varianza uno. Se puede empezar con la fórmula del determinante

$$ \log |\det( M - z )| = \sum_{j=1}^n \log |\lambda_j - z|.$$

La ley circular sugiere que los valores propios $\lambda_j$ debe estar uniformemente distribuido en el disco de radio $\sqrt{n}$ Así que uno debería probar algo como

$$ \log |\det( M - z )| \approx \frac{1}{\pi} \int_{|w| \leq \sqrt{n}} \log |w-z|\ dw.$$

Un cálculo rutinario (por ejemplo, utilizando la fórmula de Jensen, o la solución fundamental para el Laplaciano) revela que el RHS es igual a $n \log |z|$ cuando $|z| \geq \sqrt{n}$ y $\frac{1}{2} n \log n - \frac{1}{2} n + \frac{1}{2} |z|^2$ para $|z| \leq \sqrt{n}$ . Así que, heurísticamente, la ley circular es equivalente a las aproximaciones

$$ |\det(M-z)| \approx |z|^n$$

para $|z| \geq \sqrt{n}$ y

$$ |\det(M-z)| \approx n^{n/2} e^{-n/2} e^{|z|^2/2}$$

para $|z| \leq \sqrt{n}$ . Aquí hay que interpretar el $\approx$ de una forma bastante imprecisa (en particular, los factores polinómicos en $n$ debe considerarse insignificante).

Sin embargo, por la fórmula de Leibniz para los determinantes y la naturaleza iid media cero varianza uno de las entradas (que hace que todas las covarianzas entre los términos de la fórmula de Leibniz se desvanezcan), se puede calcular fácilmente que

$$ {\bf E} |\det(M-z)|^2 = \sum_{j=0}^n |z|^{2j} \frac{n!}{j!}.$$

(Este tipo de cálculo se remonta a un antiguo documento de Turan).

Para $|z| \gg \sqrt{n}$ El $|z|^{2n}$ domina el término en el lado derecho, mientras que para $|z| \ll \sqrt{n}$ el RHS es la mayor parte de la serie de Taylor para $n! e^{|z|^2}$ . La afirmación se desprende entonces moralmente de la aproximación de Stirling.

(Por cierto, mi reciente artículo con Van Vu sobre las versiones locales de la ley circular procede básicamente a hacer riguroso el argumento anterior; véase también El trabajo reciente de Bourgarde, Yau y Yin . La idea de controlar el espectro de una matriz iid a través de su log-determinante se remonta a los primeros trabajos de Girko).

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Obsérvese también que, sin demasiado cálculo, se puede ver que la ley límite del espectro debería ser invariante con respecto a las rotaciones alrededor del origen (especialmente si se supone que las entradas de la matriz iid son igualmente invariantes, por ejemplo, son gaussianas complejas). A partir de la desigualdad matricial $\sum_{j=1}^n |\lambda_j|^2 \leq \hbox{tr}(M M^*)$ y la ley de los grandes números también vemos que el tamaño típico de un valor propio $\lambda_j$ debe ser del orden de $\sqrt{n}$ . Estos hechos están muy lejos de la ley circular completa, pero son ciertamente coherentes con dicha ley.

Answer 2

Pequeño comentario inicial: Probablemente quieras decir "distribución uniforme". en el círculo de la unidad", en lugar de en el círculo unitario --- los valores propios $\lambda_{k}$ ( $i=1,2,... n$ ), escalado por $\sqrt{n}$ llenan uniformemente el interior del círculo unitario en el plano complejo. Por lo tanto, lo que comúnmente se denomina "ley del círculo" quizás sea más apropiado llamarlo "ley del disco".

Pides una derivación simple/intuitiva. La más fácil que conozco la da Eric Kostlan en Sobre los espectros de las matrices gaussianas . Cuando las partes real e imaginaria de cada elemento de la matriz se distribuyen normalmente de forma independiente, es bastante fácil demostrar que los valores absolutos al cuadrado de los valores propios, $\mu_{k}=|\lambda_{k}|^{2}$ tienen una independencia de $\chi^2$ distribuciones con $k=2,4\ldots 2n$ grados de libertad.

El gran $n$ asintótica de la $\chi^2$ implica entonces que $\mu$ se distribuye uniformemente en el intervalo $(0,n)$ . De ello se deduce que los valores propios llenan uniformemente un disco en el plano complejo de radio $\sqrt{n}$ .