integración de una función

Question

He encontrado esta explicación en un diario de papel, pero yo no podía entenderlo. Alguien puede darme una explicación o, posiblemente, una prueba de que:

Si $$\frac{\mathrm{d}V(t)}{\mathrm{d}t}=\sqrt{2}\sum_{h=1}^{H}h\omega V_{h}\cos\left(h\omega t+\frac{\pi }{2}\right),$$ entonces, ¿por qué la integración largo de todo el período es: $$\frac{1}{T}\int_{0}^{T} \left( \frac{\mathrm{d} V(t)}{\mathrm{d} t} \right)^{2}dt=\omega \sum_{h=1}^{H}h^{2}V_{h}^{2}.$$

Tengo un problema con el poder de la $\omega$; mi solución devuelve $\omega^2$, mientras que la potencia de $\omega$ en la respuesta es una. Aquí está mi solución: $$\frac{1}{T}\int_{0}^{T}\ \left( \frac{dV}{dt} \right)^{2}dt=\frac{2\omega ^{2}}{T}\int_{0}^{T}\sum_{h=1}^{H}h^{2}V_{h}^{2}\sin^{2}(h\omega t)dt$$ y durante todo el período: $$\frac{1}{T}\int_{0}^{T}\sin^{2}(h\omega t)dt=\frac{1}{2}$$ a continuación, vamos a tener $$\omega ^{2}\sum h^{2}V_{h}^{2} $$ no
$$\omega \sum h^{2}V_{h}^{2}$$

Por qué?

Answer 1

Su solución es correcta. Debe ser un error tipográfico en el papel. Aquí está mi evaluación de confirmar la suya. Desde

$$\begin{eqnarray*} \frac{dV(t)}{dt} &=&\sqrt{2}\sum_{h=1}^{H}h\omega V_{h}\cos \left( h\omega t+% \frac{\pi }{2}\right) \\ &=&-\sqrt{2}\sum_{h=1}^{H}h\omega V_{h}\sin h\omega t, \end{eqnarray*}$$

y asumiendo $\omega$ es la frecuencia angular dada por

$$\omega =\frac{2\pi }{T},$$

tenemos

$$\left( \frac{dV(t)}{dt}\right) ^{2}=2\omega ^{2}\left( \sum_{h=1}^{H}hV_{h}\sin \left( h\omega t\right) \right) ^{2}$$

y

$$\begin{eqnarray*} \frac{1}{T}\int_{0}^{T}\left( \frac{dV(t)}{dt}\right) ^{2}dt &=&\frac{\omega }{2\pi }\int_{0}^{2\pi /\omega }\left( \frac{dV(t)}{dt}\right) ^{2}dt \\ &=&\frac{\omega }{2\pi }\int_{0}^{2\pi /\omega }2\omega ^{2}\left( \sum_{h=1}^{H}hV_{h}\sin \left( h\omega t\right) \right) ^{2}dt \\ &=&\frac{\omega ^{3}}{\pi }\int_{0}^{2\pi /\omega }\left( \sum_{h=1}^{H}hV_{h}\sin \left( h\omega t\right) \right) ^{2}dt. \end{eqnarray*}$$

El integrando $\left( \sum_{h=1}^{H}hV_{h}\sin \left( h\omega t\right) \right) ^{2}$ es una suma de los términos de dos tipos diferentes:

i) $h^{2}V_{h}^{2}\sin ^{2}\left( h\omega t\right) $ y

ii) $k\left( pV_{p}\sin \left( p\omega t\right) \cdot qV_{q}\sin \left( q\omega t\right) \right) \,$, with $p\neq p$ and $p,q,k\in\mathbb{N}$.

El segundo tipo de términos no contribuyen a la última integral, debido a que el $\sin nx$ ($n\in\mathbb{N}$) funciones forman un sistema ortogonal sobre $[0,2\pi ]$:

$$\int_{0}^{2\pi /\omega }k\left( pV_{p}\sin \left( p\omega t\right) \cdot qV_{q}\sin \left( q\omega t\right) \right) dt=0\quad p\neq q$$

La suma del primer tipo es el de la $\sum_{h=1}^{H}h^{2}V_{h}^{2}\sin ^{2}\left( h\omega t\right) $. Así

$$\begin{eqnarray*} \frac{1}{T}\int_{0}^{T}\left( \frac{dV(t)}{dt}\right) ^{2}dt &=&\frac{\omega ^{3}}{\pi }\int_{0}^{2\pi /\omega }\sum_{h=1}^{H}h^{2}V_{h}^{2}\sin ^{2}\left( h\omega t\right) dt \\ &=&\frac{\omega ^{3}}{\pi }\sum_{h=1}^{H}h^{2}V_{h}^{2}\int_{0}^{2\pi /\omega }\sin ^{2}\left( h\omega t\right) dt \\ &=&\frac{\omega ^{3}}{\pi }\sum_{h=1}^{H}h^{2}V_{h}^{2}\cdot \frac{\pi }{% \omega } \\ &=&\omega ^{2}\sum_{h=1}^{H}h^{2}V_{h}^{2}, \end{eqnarray*}$$

porque

$$\begin{eqnarray*} \int \sin ^{2}\left( h\omega t\right) dt &=&\frac{1}{h\omega }\left( -\frac{1% }{2}\cos h\omega t\sin h\omega t+\frac{1}{2}h\omega t\right) \\ \int_{0}^{2\pi /\omega }\sin ^{2}\left( h\omega t\right) dt &=&\frac{\pi }{% \omega }. \end{eqnarray*}$$

Answer 2

Estoy de acuerdo, debería ser $\omega^2$. Toda la cosa es en realidad el teorema de Pitágoras: las funciones $\sqrt{2} \cos(\dots)$ son ortonormales en el espacio $L^2([0,T])$, y la integral es la plaza de la $L^2$ norma de $dV/dt$, por lo tanto la suma de los cuadrados de los coeficientes: $\sum (h\omega V_h)^2$.