Para $a,b,c\geq 0$ tal que $a+b+c=2$ . Demuestre que $(a^3+b^3)(b^3+c^3)(c^3+a^3)\leq 2$ .
Traté de usar Desigualdad AM-GM y otros, pero no tuve éxito. Por favor, dame un poco de ayuda Gracias por leer mi pregunta.
Para $a,b,c\geq 0$ tal que $a+b+c=2$ . Demuestre que $(a^3+b^3)(b^3+c^3)(c^3+a^3)\leq 2$ .
Traté de usar Desigualdad AM-GM y otros, pero no tuve éxito. Por favor, dame un poco de ayuda Gracias por leer mi pregunta.
Debido a la simetría, suponga que $a\ge b \ge c$ .
Tenemos \begin{align} &(a^3+b^3)(b^3+c^3)(c^3+a^3)\\ =\ & (a+b)(a^2-ab+b^2)(b+c)(b^2-bc+c^2)(a+c)(a^2-ac+c^2)\\ \le\ & (a+b)(a^2-ab+b^2)(b+c)b^2(a+c)a^2\\ =\ & 2\cdot \frac{a+b}{2} \cdot (a^2-ab+b^2) \cdot (b+c)(a+c) \cdot ab \cdot ab \\ \le\ & 2 \left(\frac{\frac{a+b}{2} + (a^2-ab+b^2) + (b+c)(a+c) + ab + ab}{5}\right)^5\\ =\ & 2 \left(\frac{(a+b)^2 -\frac{3}{2}(a+b) + 4}{5}\right)^5\\ =\ & 2 \left(\frac{5 - \frac{2a+2b+1}{2}(2-a-b)}{5}\right)^5\\ \le\ & 2. \end{align}
I-Ciencias es una comunidad de estudiantes y amantes de la ciencia en la que puedes resolver tus problemas y dudas.
Puedes consultar las preguntas de otros usuarios, hacer tus propias preguntas o resolver las de los demás.