10 votos

Para$a,b,c\geq 0$ tal que$a+b+c=2$. Pruebalo $(a^3+b^3)(b^3+c^3)(c^3+a^3) \leq 2$.

Para $a,b,c\geq 0$ tal que $a+b+c=2$ . Demuestre que $(a^3+b^3)(b^3+c^3)(c^3+a^3)\leq 2$ .

Traté de usar Desigualdad AM-GM y otros, pero no tuve éxito. Por favor, dame un poco de ayuda Gracias por leer mi pregunta.

10voto

River Li Puntos 101

Debido a la simetría, suponga que $a\ge b \ge c$ .

Tenemos \begin{align} &(a^3+b^3)(b^3+c^3)(c^3+a^3)\\ =\ & (a+b)(a^2-ab+b^2)(b+c)(b^2-bc+c^2)(a+c)(a^2-ac+c^2)\\ \le\ & (a+b)(a^2-ab+b^2)(b+c)b^2(a+c)a^2\\ =\ & 2\cdot \frac{a+b}{2} \cdot (a^2-ab+b^2) \cdot (b+c)(a+c) \cdot ab \cdot ab \\ \le\ & 2 \left(\frac{\frac{a+b}{2} + (a^2-ab+b^2) + (b+c)(a+c) + ab + ab}{5}\right)^5\\ =\ & 2 \left(\frac{(a+b)^2 -\frac{3}{2}(a+b) + 4}{5}\right)^5\\ =\ & 2 \left(\frac{5 - \frac{2a+2b+1}{2}(2-a-b)}{5}\right)^5\\ \le\ & 2. \end{align}

4voto

Nguyenhuyen_AG Puntos 79

Suponga $a \geqslant b \geqslant c$ y deje PS Porque PS y PS Por lo tanto PS Finalmente, es fácil verificar $$ f(a,b,c)=2-(a^3 + b^3)(b^3 + c^3)(c^3 + a^3).$ para $$ a^3+b^3 \leqslant \left(a+\frac{c}{2}\right)^3+\left(b+\frac{c}{2}\right)^3,$

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